[论文解读] On the Medianwidth of Graphs

Konstantinos S. Stavropoulos|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 41被引用 3

一句话总结

本文引入了中位分解（median decompositions），这是树分解（tree decompositions）的一种推广，其底层结构由中位图（median graphs）代替了树。它定义了 $i$-中位宽（$i$-medianwidth）$\operatorname{mw}_i(G)$ 作为一组宽度参数的层次结构，该结构从树宽（$i=1$）开始，随着 $i$ 增大而收敛至团数 $\omega(G)$，并引入一个变体使其与色数 $\chi(G)$ 匹配，从而为有界树宽之外的图类提供了新的结构框架。

ABSTRACT

A median graph is a connected graph, such that for any three vertices $u,v,w$ there is exactly one vertex $x$ that lies simultaneously on a shortest $(u,v)$-path, a shortest $(v,w)$-path and a shortest $(w,u)$-path. Examples of median graphs are trees and hypercubes. We introduce and study a generalisation of tree decompositions, to be called median decompositions, where instead of decomposing a graph $G$ in a treelike fashion, we use general median graphs as the underlying graph of the decomposition. We show that the corresponding width parameter $ ext{mw}(G)$, the medianwidth of $G$, is equal to the clique number of the graph, while a suitable variation of it is equal to the chromatic number of $G$. We study in detail the $i$-medianwidth $ ext{mw}_i(G)$ of a graph, for which we restrict the underlying median graph of a decomposition to be isometrically embeddable to the Cartesian product of $i$ trees. For $i\geq 1$, the parameters $ ext{mw}_i$ constitute a hierarchy starting from treewidth and converging to the clique number. We characterize the $i$-medianwidth of a graph to be, roughly said, the largest "intersection" of the best choice of $i$ many tree decompositions of the graph. Lastly, we extend the concept of tree and median decompositions and propose a general framework of how to decompose a graph $G$ in any fixed graphlike fashion.

研究动机与目标

• 通过将底层分解结构从树替换为中位图，推广树分解。
• 定义并研究中位宽 $\operatorname{mw}(G)$，证明其等于团数 $\omega(G)$。
• 引入 $i$-中位宽 $\operatorname{mw}_i(G)$，其限制为可等距嵌入于 $i$ 棵树的笛卡尔积中的中位图。
• 建立 $\operatorname{mw}_i(G)$ 作为从树宽到团数的非递增层次结构。
• 探索 $i$-中位宽与图着色之间的联系，包括一个与色数 $\chi(G)$ 匹配的变体。

提出的方法

• 使用中位图的凸子图作为袋子，定义中位分解，推广树分解的概念。
• 利用中位图中的 Helly 性质和凸性，确保袋子之间的交集行为一致。
• 通过中位图的结构性质，将 $\operatorname{mw}(G)$ 表征为等于团数 $\omega(G)$。
• 通过限制底层中位图为可等距嵌入于 $i$ 棵树的笛卡尔积中的中位图，引入 $i$-中位宽。
• 定义弱 $\Theta$-光滑中位分解，以将宽度参数与色数 $\chi(G)$ 关联。
• 证明光滑中位宽（$\operatorname{mw}_i$ 的一个变体）等于 $\chi(G)$，建立类似于树宽与布拉姆布尔（brambles）之间的对偶性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何使用中位图代替树作为底层结构，来推广树分解？
• RQ2 中位宽 $\operatorname{mw}(G)$ 与团数 $\omega(G)$ 等经典图参数之间有何关系？
• RQ3 $i$-中位宽 $\operatorname{mw}_i(G)$ 是否形成一个从树宽收敛至团数的恰当层次结构？
• RQ4 是否存在一种中位分解的变体可以捕捉色数 $\chi(G)$，如果存在，其机制是什么？
• RQ5 $i$-中位宽对有界 $i$-中位宽图上的 NP-难问题有何算法影响？

主要发现

• 图 $G$ 的中位宽 $\operatorname{mw}(G)$ 恰好等于其团数 $\omega(G)$。
• $i$-中位宽 $\operatorname{mw}_i(G)$ 构成一个非递增层次结构：$\operatorname{tw}(G)+1 = \operatorname{mw}_1(G) \geq \operatorname{mw}_2(G) \geq \cdots \geq \operatorname{mw}(G) = \omega(G)$。
• 对于 $i \geq 1$，$\operatorname{mw}_i(G)$ 可解释为图 $G$ 的 $i$ 个最优树分解的“最大交集”。
• 一种称为弱 $\Theta$-光滑的中位分解变体，其宽度参数恰好等于色数 $\chi(G)$。
• $i$-中位宽层次结构是恰当的：每一级在广义上都是无界的，因为完全 $i$-部图可实现任意大的 $\operatorname{mw}_i(G)$。
• 尽管计算团数的问题在 $i \geq 2$ 时为 W[1]-完全，但目前尚不清楚图的 $i$-中位宽是否为固定参数可追踪（fixed-parameter tractable）计算。