[论文解读] On the metric dimension of imprimitive distance-regular graphs

R. A. Bailey|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2013

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 25被引用 5

一句话总结

本文建立了非本原距离正则图的度量维数与其一半图或折叠图之间的关系，为泰勒图和具有零极性对称设计的关联图等无限族提供了界限。该研究将 Babai 对本原图的度量维数界限扩展至非本原情形，得出关联图的度量维数上界为 O(√N log N)，而某些基于 Hadamard 的设计则为 O(log N)。

ABSTRACT

A resolving set for a graph $Γ$ is a collection of vertices $S$, chosen so that for each vertex $v$, the list of distances from $v$ to the members of $S$ uniquely specifies $v$. The metric dimension of $Γ$ is the smallest size of a resolving set for $Γ$. Much attention has been paid to the metric dimension of distance-regular graphs. Work of Babai from the early 1980s yields general bounds on the metric dimension of primitive distance-regular graphs in terms of their parameters. We show how the metric dimension of an imprimitive distance-regular graph can be related to that of its halved and folded graphs, but also consider infinite families (including Taylor graphs and the incidence graphs of certain symmetric designs) where more precise results are possible.

研究动机与目标

• 将已知的度量维数界限从本原图扩展至非本原距离正则图。
• 分析非本原图的度量维数与其一半图或折叠图的度量维数之间的关系。
• 为特定无限族（包括泰勒图和具有零极性的对称设计的关联图）推导精确的上界。
• 研究度量维数界限是否适用于不具零极性的对称设计的关联图。
• 探索度量维数与对合及二分距离正则图中的设计理论之间的联系。

提出的方法

• 利用定理 2.1 和 2.2，将非本原图 Γ 的度量维数与其一半图或折叠图的度量维数联系起来。
• 将 Babai 对本原距离正则图的度量维数的一般界限（定理 1.2）应用于所导出的本原图。
• 采用分辨集的概念：一个集合 R，使得所有顶点可通过其到 R 的距离向量唯一确定。
• 利用具有零极性的对称 (v,k,λ)-设计的关联图的结构，将其与强正则图联系起来。
• 通过折叠和分半操作将非本原图简化为本原图，从而应用现有界限。
• 应用推论 4.6，以 v 和 k 表示度量维数的上界，进而转换为以 N = 2v 表示的界限。

实验结果

研究问题

• RQ1 非本原距离正则图的度量维数与其一半图或折叠图的度量维数之间有何关系？
• RQ2 能否通过分半和折叠操作，将 Babai 对本原距离正则图的度量维数界限推广至非本原图？
• RQ3 具有零极性的对称设计的关联图的度量维数界限是什么？
• RQ4 推论 4.6 中的度量维数界限是否对不具零极性的对称设计的关联图也成立？
• RQ5 对合或二分距离正则图（直径为 3 或 4）的度量维数是多少，特别是当其折叠图或一半图是完全图时？

主要发现

• 对于具有零极性的非平凡 (v,k,λ) 对称设计的关联图 Γ，其度量维数满足 μ(Γ) < 4√v log v。
• 获得更紧的界限：μ(Γ) < 8v/k log v，当 v 与 k 线性相关时（如基于 Hadamard 的设计），该界限可简化为 O(log N)。
• 对于 (15,8,4) 和 (16,6,2)-双平面设计的关联图，其度量维数为 8，即使每类中仅一个设计具有零极性。
• 对于具有零极性的对称设计的关联图，度量维数上界 μ(Γ) = O(√N log N) 成立，其中 N = 2v 为顶点数。
• 结果表明，度量维数界限可能可推广至所有对称设计的关联图，即使不具零极性，但此问题仍为开放问题。
• 该方法依赖于零极性的存在，以将关联图与强正则图联系起来，从而可应用 Babai 的界限。