[论文解读] On the Metric Distortion of Embedding Persistence Diagrams into Reproducing Kernel Hilbert Spaces.

Mathieu Carrière, Ulrich Bauer|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2018

Topological and Geometric Data Analysis被引用 2

一句话总结

本文研究了通过核方法将持久性图嵌入再生核希尔伯特空间（RKHS）时的度量扭曲问题。证明了在有限维RKHS中，双Lipschitz嵌入是不可能的，即使在图的基数有界的情况下也是如此；并表明在无限维RKHS中，任何关于度量扭曲的下界都必须依赖于图的基数。

ABSTRACT

Persistence diagrams are important feature descriptors in Topological Data Analysis. Due to the nonlinearity of the space of persistence diagrams equipped with their {\em diagram distances}, most of the recent attempts at using persistence diagrams in Machine Learning have been done through kernel methods, i.e., embeddings of persistence diagrams into Reproducing Kernel Hilbert Spaces (RKHS), in which all computations can be performed easily. Since persistence diagrams enjoy theoretical stability guarantees for the diagram distances, the {\em metric properties} of a kernel $k$, i.e., the relationship between the RKHS distance $d_k$ and the diagram distances, are of central interest for understanding if the persistence diagram guarantees carry over to the embedding. In this article, we study the possibility of embedding persistence diagrams into RKHS with bi-Lipschitz maps. In particular, we show that when the RKHS is infinite dimensional, any lower bound must depend on the cardinalities of the persistence diagrams, and that when the RKHS is finite dimensional, finding a bi-Lipschitz embedding is impossible, even when restricting the persistence diagrams to have bounded cardinalities.

研究动机与目标

• 理解持久性图在图距离下的理论稳定性保证，在通过核方法嵌入RKHS后是否仍然保持。
• 研究从持久性图空间到RKHS的双Lipschitz嵌入是否存在，且该嵌入以图距离为度量标准。
• 确定在无限维RKHS中，度量扭曲对持久性图基数的依赖关系。
• 建立将持久性图嵌入有限维RKHS时，保持度量结构的根本限制。

提出的方法

• 分析聚焦于图距离（如Wasserstein距离或瓶颈距离）与由核函数诱导的RKHS距离之间的关系。
• 本文采用几何与泛函分析技术，研究持久性图空间与RKHS之间双Lipschitz映射的存在性。
• 同时考虑有限维与无限维RKHS设置，以比较嵌入的可行性。
• 推导出下Lipschitz常数的理论界，表明其在无限维空间中依赖于持久性图的基数。
• 针对有限维RKHS构造反例与不可能性结果，即使在基数有界约束下也成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过双Lipschitz映射将持久性图嵌入有限维RKHS，同时保持其度量结构？
• RQ2 在无限维RKHS中，RKHS距离的下界对持久性图基数的依赖关系如何？
• RQ3 持久性图在图距离下的稳定性特性在多大程度上传递到RKHS嵌入中？
• RQ4 是否可能在任意维数的RKHS中实现持久性图的双Lipschitz嵌入？

主要发现

• 即使限制在有界基数的持久性图上，将持久性图嵌入有限维RKHS的双Lipschitz嵌入也是不可能的。
• 在无限维RKHS中，任何关于RKHS距离的下界都必须依赖于所涉及持久性图的基数。
• 无限维RKHS中的度量扭曲无法被统一有界，且对图的大小具有内在敏感性。
• 当需要双Lipschitz控制时，持久性图在图距离下的理论稳定性保证无法完全传递到RKHS嵌入中。