[论文解读] On the Metric Distortion of Embedding Persistence Diagrams into separable Hilbert spaces

Mathieu Carrière, Ulrich Bauer|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2018

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 17被引用 10

一句话总结

本文研究了将持久性图嵌入可分希尔伯特空间时的度量失真问题，表明在有限维希尔伯特空间中不可能实现双李普希茨嵌入，且在无限维空间中稳定嵌入的下界随图的基数增加而消失。结果表明，此类嵌入下度量结构从根本上被破坏，从而削弱了拓扑机器学习中的理论保证。

ABSTRACT

Persistence diagrams are important descriptors in Topological Data Analysis. Due to the nonlinearity of the space of persistence diagrams equipped with their {\em diagram distances}, most of the recent attempts at using persistence diagrams in machine learning have been done through kernel methods, i.e., embeddings of persistence diagrams into Reproducing Kernel Hilbert Spaces, in which all computations can be performed easily. Since persistence diagrams enjoy theoretical stability guarantees for the diagram distances, the {\em metric properties} of the feature map, i.e., the relationship between the Hilbert distance and the diagram distances, are of central interest for understanding if the persistence diagram guarantees carry over to the embedding. In this article, we study the possibility of embedding persistence diagrams into separable Hilbert spaces, with bi-Lipschitz maps. In particular, we show that for several stable embeddings into infinite-dimensional Hilbert spaces defined in the literature, any lower bound must depend on the cardinalities of the persistence diagrams, and that when the Hilbert space is finite dimensional, finding a bi-Lipschitz embedding is impossible, even when restricting the persistence diagrams to have bounded cardinalities.

研究动机与目标

• 研究持久性图是否可通过双李普希茨映射嵌入可分希尔伯特空间，同时保持度量结构。
• 确定持久性图的稳定性保证（通过图距离）是否可传递到其希尔伯特空间嵌入中。
• 分析嵌入失真下界与持久性图基数之间的依赖关系。
• 评估随图大小增加时，常见特征映射的度量失真行为。

提出的方法

• 使用图距离（如 d₁、d_p）和希尔伯特空间度量，对双李普希茨嵌入进行理论分析。
• 通过覆盖论证和三角不等式，使用反证法证明在有限维空间中不可能实现。
• 构建具有受控距离的持久性图族，以测试下界行为。
• 使用切片 Wasserstein 距离作为具有条件负定核的隐式特征映射。
• 使用基数从 10 到 1000 逐渐增加的合成图，对度量失真比率进行经验评估。
• 实现标准特征映射：持久性加权高斯、持久性尺度空间、景观图、持久性图像和拓扑向量。

实验结果

研究问题

• RQ1 持久性图能否通过双李普希茨映射嵌入有限维希尔伯特空间？
• RQ2 进入无限维希尔伯特空间的稳定特征映射是否具有与图基数无关的希尔伯特距离下界？
• RQ3 随着持久性图中点数的增加，度量失真下界如何变化？
• RQ4 针对切片 Wasserstein 距离推导出的下界是否紧致，还是依赖于图的大小？

主要发现

• 无论维度如何，任何有限维希尔伯特空间中均不存在从有界基数持久性图空间到该空间的双李普希茨嵌入。
• 对于几种进入无限维希尔伯特空间的稳定特征映射，希尔伯特距离的任何下界都必须随着图中点数的增加而趋于零。
• 经验结果表明，度量失真比率（希尔伯特距离 / 图距离）随图基数增加而上升，尤其在拓扑向量、景观图和切片 Wasserstein 映射中更为显著。
• 对于拓扑向量、景观图和切片 Wasserstein 映射，失真随基数线性增长，而其他映射则表现出更慢的增长。
• 切片 Wasserstein 距离不具有与图大小无关的通用下界，表明现有下界并不紧致。
• 结果表明，持久性图的理论稳定性保证在标准特征映射嵌入到希尔伯特空间时无法保持。