[论文解读] On the Metric Independent Exotic Homology

S. P. Novikov|ArXiv.org|Mar 25, 2004

Algebraic structures and combinatorial models被引用 8

一句话总结

本文提出了一种基于紧致流形上微分形式的度量无关的奇异同调理论，通过非闭的一次形式和Reeb向量场对de Rham算子进行微扰。该理论发展了谱序列形式化方法，并表明由此产生的同调群与辛几何中的哈密顿动力系统及能量层流形的拓扑结构有深刻联系，关键结果将同调与旋转数等动力学不变量联系起来。

ABSTRACT

Different types of nonstandard homology groups based on the various subcomplexes of differential forms are considered as a continuation of the recent authors works. Some of them reflect interesting properties of dynamical systems on the compact manifolds. In order to study them a Special Perturbation Theory in the form of Spectral Sequences is developed. In some cases a convenient fermionic formalism of dealing with differential forms is used originated from the work of Witten in the Morse Theory (1982)and the authors work where some nonstandard analog of Morse Inequalities for vector fields was found (1986).

研究动机与目标

• 开发一类基于微分形式子复形的、与黎曼度量无关的新奇同调理论。
• 研究通过非闭的一次形式和Reeb向量场微扰de Rham算子所带来的拓扑与动力学影响。
• 为在非可积分布存在的情况下计算新奇同调群，建立谱序列形式化方法。
• 将新奇同调与几何及动力学不变量（如旋转数和哈密顿系统中的不变循环）相联系。
• 通过代数微扰和超交换环，推广Morse理论与等变同调构造。

提出的方法

• 将新奇同调群 $ H^*_\text{exotic} $ 构造为 $ \ker(d') / \operatorname{im}(d') $，其中算子 $ d' = d + \lambda \omega^* $ 定义在子复形 $ T_\Omega $ 上，满足 $ \Omega \wedge a = 0 $，且 $ \Omega = d\omega $。
• 利用谱序列计算微扰复形 $ d' = d + \mu \hat{X} $ 的同调，其中 $ \hat{X} $ 为与Reeb向量场 $ X $ 的内乘算子。
• 采用受Witten莫尔斯理论启发的费米子形式，将 $ \hat{X} $ 视为作用于闭形式上的纯代数算子。
• 通过 $ \hat{X} $ 的迭代作用定义谱序列中的高阶微分 $ d_l $，类比于Massey积。
• 建立将新奇同调 $ H^*_\Omega $ 与标准de Rham上同调 $ H^*(M) $ 联系的正合序列，涉及 $ \nabla_X $ 的核与像。
• 将该构造应用于辛流形中奇维数的能量层流形，其中 $ \Omega = \omega^n $，且 $ X $ 为Reeb向量场。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过微分形式的子复形，在不依赖黎曼度量的情况下定义新奇同调？
• RQ2 由 $ d $-不变子空间 $ T_\Omega $（满足 $ \Omega \wedge a = 0 $）定义的新奇同调群 $ H^*_\Omega $ 的拓扑意义是什么？
• RQ3 由微扰 $ d' = d + \mu \hat{X} $ 产生的谱序列如何计算新奇同调？高阶微分 $ d_l $ 的作用是什么？
• RQ4 谱序列的第二微分 $ d_2 = \hat{X} $ 编码了哪些动力学不变量，如旋转数？
• RQ5 这些新奇同调理论在多大程度上推广了等变同调与Massey积结构？

主要发现

• 在紧致的 $ (2n+1) $-维流形 $ M $ 上，由 $ \Omega = \omega^n $ 定义的新奇同调 $ H^*_\Omega $ 同构于Reeb流不变循环的上同调。
• 存在一个自然的正合序列将 $ H^*_\Omega $ 与标准de Rham上同调 $ H^*(M) $ 联系起来，其中涉及 $ \ker(\nabla_X) $、$ C^\infty(M)/\nabla_X(C^\infty(M)) $ 以及 $ (u,X) $ 的像。
• 第二微分 $ d_2 = \hat{X} : H^1_{\text{inv}} \to \mathbb{R} $ 当且仅当旋转数 $ a \in H_1(M,\mathbb{R}) $ 为零时消失。
• 对于 $ d' = d + \mu \hat{X} $ 的谱序列 $ E_l $，有 $ E_2 = \sum_{i \geq 0} H^i_{\text{inv}} $，其中 $ d_2(u) = \hat{X}(u) $，且高阶微分 $ d_l $ 通过迭代内乘代数定义。
• 对于紧致等距群，有 $ E_\infty \cong H_*(d + \mu \hat{X}) $，表明在度量无关设定下谱序列收敛于微扰同调。
• 该构造推广了等变同调：在 $ G $-不变的实值微分形式上，$ d' = d + a_i \hat{X}_i $ 的复形可纳入同一框架，其谱序列与Massey积类似。