[论文解读] On the mild Itô formula in Banach spaces

Sonja Cox, Arnulf Jentzen+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 5被引用 5

一句话总结

本文将温和 Itô 公式推广至具有类型 2 的 UMD（无条件鞅差）巴拿赫空间，使其适用范围超越希尔伯特空间。主要贡献在于为巴拿赫空间中的温和 Itô 过程建立了严格的分析框架，从而实现了随机偏微分方程（SPDEs）数值逼近的近乎最优弱收敛速率。

ABSTRACT

The mild Ito formula proposed in Theorem 1 in [Da Prato, G., Jentzen, A., \& Röckner, M., A mild Ito formula for SPDEs, arXiv:1009.3526 (2012), To appear in the Trans.\ Amer.\ Math.\ Soc.] has turned out to be a useful instrument to study solutions and numerical approximations of stochastic partial differential equations (SPDEs) which are formulated as stochastic evolution equations (SEEs) on Hilbert spaces. In this article we generalize this mild Itô formula so that it is applicable to solutions and numerical approximations of SPDEs which are formulated as SEEs on UMD (unconditional martingale differences) Banach spaces. This generalization is especially useful for proving essentially sharp weak convergence rates for numerical approximations of SPDEs.

研究动机与目标

• 将温和 Itô 公式从希尔伯特空间推广至具有类型 2 的 UMD 巴拿赫空间，以扩大其在 SPDE 中的应用范围。
• 解决标准 Itô 公式在无限维情形下的局限性，即其对 SPDE 的温和解或弱解不成立的问题。
• 为证明 SPDE 数值逼近中近乎最优的弱收敛速率提供理论基础。
• 建立在巴拿赫空间中温和 Itô 过程背景下，具有多项式增长的测试函数可积性的条件。
• 将关键结果如温和 Dynkin 型公式和温和 Itô 过程终值的弱估计推广至巴拿赫空间设定。

提出的方法

• 通过演化族、温和漂移和温和扩散系数，在 UMD 巴拿赫空间中定义温和 Itô 过程。
• 提出一个新的温和 Itô 公式（定理 3.5），适用于取值于具有类型 2 的 UMD 巴拿赫空间的过程，推广了希尔伯特空间版本。
• 利用 γ-径向化算子以及 Nemytskii 算子和乘法算子的性质，构造自然的测试函数。
• 通过一致可积性和 Burkholder-Davis-Gundy 型不等式，利用温和 Itô 公式建立终值的弱估计。
• 通过矩界和随机积分估计，证明具有多项式增长的测试函数的收敛性和可积性结果。
• 将该理论应用于推导巴拿赫空间设定下的温和 Dynkin 型公式和终值的弱估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 温和 Itô 公式能否从希尔伯特空间推广至具有类型 2 的 UMD 巴拿赫空间？
• RQ2 如何将温和 Itô 公式应用于证明巴拿赫空间中 SPDE 数值逼近的弱收敛速率？
• RQ3 在巴拿赫空间中温和 Itô 过程的背景下，何种条件可确保具有多项式增长的测试函数可积？
• RQ4 γ-径向化算子和演化族的性质如何支持 Itô 微积分向巴拿赫空间值过程的推广？
• RQ5 UMD 性质和类型 2 在实现温和 Itô 公式向非希尔伯特空间推广中起到什么作用？

主要发现

• 温和 Itô 公式已成功推广至具有类型 2 的 UMD 巴拿赫空间，使其适用范围超越希尔伯特空间。
• 所推广的公式使得 SPDE 数值逼近的近乎最优弱收敛速率得以推导。
• 在初始值、漂移系数和扩散系数满足适当的矩条件时，具有多项式增长的测试函数被证明是可积的。
• 证明依赖于一致可积性和 Burkholder-Davis-Gundy 型不等式，以控制巴拿赫空间中随机积分的矩。
• 在巴拿赫空间设定下建立了温和 Dynkin 型公式和终值的弱估计，为分析 SPDE 解提供了工具。
• 该框架支持将 Nemytskii 算子和乘法算子作为所推广的温和 Itô 公式中自然的测试函数示例。