[论文解读] On the Minimisation of Deterministic and History-Deterministic Generalised (Co)Büchi Automata

Antonio Casares, Olivier Idir+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2024

semigroups and automata theory被引用 1

一句话总结

本文提出了一种基于转换式接受和基于残差的状态等价性的多项式时间算法，用于最小化历史确定性广义共布灵自动机。通过从图着色问题的约化，证明了最小化确定性和历史确定性广义布灵自动机的NP-完全性，以及同时最小化历史确定性广义共布灵自动机的状态数和颜色数的NP-完全性。

ABSTRACT

We present a polynomial-time algorithm minimising the number of states of history-deterministic generalised coBüchi automata, building on the work of Abu Radi and Kupferman on coBüchi automata. On the other hand, we establish that the minimisation problem for both deterministic and history-deterministic generalised Büchi automata is NP-complete, as well as the problem of minimising at the same time the number of states and colours of history-deterministic generalised coBüchi automata.

研究动机与目标

• 为历史确定性广义共布灵自动机开发一种高效的最小化算法。
• 确定最小化确定性和历史确定性广义布灵自动机的计算复杂度。
• 研究同时最小化历史确定性广义共布灵自动机中状态数和颜色数的复杂度。
• 建立过渡式接受模型下ω-正则语言自动机的简洁性和复杂性的理论界限。

提出的方法

• 设计一种基于过渡式接受和基于残差的状态识别的多项式时间最小化算法，用于历史确定性广义共布灵自动机。
• 通过从图着色问题约化，证明最小化确定性和历史确定性广义布灵自动机的NP-完全性。
• 构造一个从图G到自动机AG的构造方法，其中语言等价性对应于图的可着色性。
• 证明：若将AG的过渡用k种颜色重着色，则语言保持不变，当且仅当G具有k-着色，从而将自动机最小化与图论联系起来。
• 证明AG中的每个残差对应于任何等价的历史确定性自动机中的唯一状态，从而强制实现状态最小化。
• 证明：图G的一个有效k-着色可诱导AG过渡的合法重着色，反之亦然，通过从过渡颜色导出的着色函数实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 历史确定性广义共布灵自动机能否在多项式时间内最小化？
• RQ2 确定性广义布灵自动机的最小化问题是否为NP-完全？
• RQ3 历史确定性广义布灵自动机的最小化问题是否为NP-完全？
• RQ4 历史确定性广义共布灵自动机中同时最小化状态数和颜色数的问题是否为NP-完全？
• RQ5 广义（共）布灵自动机的最小化问题能否约化为图着色问题？

主要发现

• 基于过渡式接受，存在一种用于历史确定性广义共布灵自动机最小化的多项式时间算法。
• 确定性广义布灵自动机的最小化问题为NP-完全。
• 历史确定性广义布灵自动机的最小化问题为NP-完全。
• 历史确定性广义共布灵自动机中同时最小化状态数和颜色数的问题为NP-完全。
• 图G的k-着色与自动机AG的过渡的合法重着色之间存在一一对应关系，且保持语言等价性。
• 从图G构造自动机AG，建立了从图着色到自动机重着色的约化，证明了最小化问题的NP-完全性。