[论文解读] On the Minimum Chordal Completion Polytope

David Bergman, Carlos Cardonha+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2016

graph theory and CDMA systems被引用 6

一句话总结

本文提出了一种新颖的整数规划公式，用于最小弦图完成问题（MCCP），基于诱导圈的边空间约束，避免依赖完美消除序。提出了一种结合惰性约束生成与阈值分离的混合求解方法，显著优于以往方法，并首次将许多基准实例求解至最优。

ABSTRACT

A graph is chordal if every cycle of length at least four contains a chord, that is, an edge connecting two nonconsecutive vertices of the cycle. Several classical applications in sparse linear systems, database management, computer vision, and semidefinite programming can be reduced to finding the minimum number of edges to add to a graph so that it becomes chordal, known as the minimum chordal completion problem (MCCP). In this article we propose a new formulation for the MCCP which does not rely on finding perfect elimination orderings of the graph, as has been considered in previous work. We introduce several families of facet-defining inequalities for cycle subgraphs and investigate the underlying separation problems, showing that some key inequalities are NP-Hard to separate. We also show general properties of the proposed polyhedra, indicating certain conditions and methods through which facets and inequalities associated with the polytope of a certain graph can be adapted in order to become valid and eventually facet-defining for some of its subgraphs or supergraphs. Numerical studies combining heuristic separation methods based on a threshold rounding and lazy-constraint generation indicate that our approach substantially outperforms existing methods for the MCCP, solving many benchmark graphs to optimality for the first time.

研究动机与目标

• 开发一种新的最小弦图完成问题（MCCP）数学规划公式，避免依赖完美消除序。
• 通过识别环子图的面定义不等式，研究MCCP的多面体结构。
• 设计一种混合求解方法，结合惰性约束生成与启发式分离，以高效求解大规模MCCP实例。
• 展示在计算性能上优于现有精确与启发式方法，特别是在求解以往未解决的基准图实例方面。

提出的方法

• 该公式基于图中诱导圈导出的指数级数量的弦不等式，直接在边空间上定义，无需完美消除序。
• 推导出环子图的面定义不等式，并通过提升过程研究其在超图与子图上的推广。
• 采用混合求解方法，整合惰性约束生成与基于阈值舍入的启发式分离方法，以高效识别违反的不等式。
• 方法中包含一种原始启发式，用于在优化过程中早期生成可行解。
• 证明关键不等式的分离问题是NP难的，从而在实践中支持使用启发式分离。
• 数值实验结合了关键割的精确分离与基于阈值的分离，以兼顾精度与可扩展性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否开发一种新的MCCP公式，避免依赖完美消除序，从而实现更直接的多面体分析？
• RQ2 从诱导圈子图中可推导出哪些面定义不等式家族？如何将其推广至其他图？
• RQ3 结合惰性约束生成与阈值分离的混合方法在大规模求解MCCP方面效果如何？
• RQ4 该方法在多大程度上能求解以往方法未能解决的基准实例至最优？

主要发现

• 所提出的基于环基不等式的公式在性能上显著优于以往的精确方法，首次将许多基准图实例求解至最优。
• 对于dimacs及其他标准基准实例，该方法在显著减少求解时间的同时，始终能获得最优或近似最优解，优于现有方法。
• 混合方法结合阈值舍入与惰性约束生成，在许多实例中识别出超过10,000条割线，其中类型(I2)与(I4)被添加得最为频繁。
• 在多数实例中，割线主要通过阈值分离过程而非整数节点被发现，表明启发式分离策略具有高度有效性。
• 在解的质量与效率方面，该方法优于当前最先进的启发式方法MDO，尤其在密集与大规模图上表现更优。
• 对于若干实例如myzciel6与DSJC125.9，该方法获得了最优解，而以往方法未能实现，充分展示了其计算优越性。