[论文解读] On the mixing structure of stationary increment and self-similar symmetric \alpha-stable processes

Донатас Сургайлис, J. Rosiński+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2012

Complex Systems and Time Series Analysis参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文通过Masani和Lamperti变换将平稳增量与自相似对称 $\alpha$-稳定（SαS）过程与非奇异流及上循环联系起来，研究其混合结构。通过遍历分解刻画这些过程，表明具有平稳增量的自相似SαS过程要么是发散的（包括混合移动平均类型），要么是保守的，后者为旋转混合。主要贡献在于利用周期性极小函数与等距变换，对保守过程实现完整分类及分布等价性准则。

ABSTRACT

Mixed moving average processes appear in the ergodic decomposition of stationary symmetric \alpha-stable (S\alpha S) processes. They correspond to the dissipative part of "deterministic" flows generating S\alpha S processes (Rosinski, 1995). Along these lines we study stationary increment and self-similar S\alpha S processes. Since the classes of stationary increment and self-similar processes can be embedded into the class of stationary processes by the Masani and Lamperti transformations, respectively, we characterize these classes of S\alpha S processes in terms of nonsingular flows and the related cocycles. We illustrate this approach considering various examples of self-similar mixed moving average S\alpha S processes introduced in (Surgailis, Rosinski, Mandrekar and Cambanis, 1992).

研究动机与目标

• 通过非奇异流与上循环，刻画平稳增量与自相似SαS过程的遍历分解。
• 通过附录中的技术性拓展，将Masani关于平稳增量过程的工作推广至所有 $\alpha > 0$，包括 $\alpha < 1$。
• 将具有平稳增量的自相似SαS过程分类为发散或保守，并证明保守情形为旋转混合。
• 基于周期性极小函数与等距变换，建立保守SαS过程的分布等价性准则。
• 利用流诱导变换，为混合旋转平均与保守SαS过程提供完整的谱表示框架。

提出的方法

• 利用Masani与Lamperti变换，将平稳增量与自相似过程嵌入平稳SαS过程类中。
• 应用Rosinski的遍历分解定理，通过取值于 \{−1, 1\}（复数情形为单位圆）的非奇异流与上循环表示平稳SαS过程。
• 通过Hardin准则定义极小谱表示：几乎处处支持等于整个空间，且每个可测集在流生成的σ-代数下等价。
• 通过 $f(t,s,x) = g(s+tx) - g(s)$ 构造混合旋转平均过程，其中 $g$ 为周期延拓，$Q$ 为 $\mathbb{R}^+$ 上的Lévy测度。
• 应用上循环恒等式 $a_{t+u}(s) = a_u(s) a_t(\phi_u(s))$，基于流动力学推导谱表示。
• 利用变换 $Uf(s,x) = h(x)f(s + \tau(x), x)$ 的等距扩张，推导混合旋转平均的分布等价性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有平稳增量的自相似SαS过程的遍历分解结构为何？发散部分与保守部分有何区别？
• RQ2 如何将Masani与Lamperti变换拓展至所有 $\alpha > 0$（包括 $\alpha < 1$）以刻画平稳增量SαS过程？
• RQ3 在何种条件下，具有平稳增量的保守SαS过程为旋转混合？
• RQ4 何时两个混合旋转平均SαS过程具有相同的有限维分布？
• RQ5 当两个保守SαS过程具有表示 $X_t = \int (g(s+tx) - g(s)) M(ds,dx)$ 时，其分布相等的精确条件为何？

主要发现

• 具有平稳增量的保守SαS过程为旋转混合，其谱表示为 $X_t = \int (g(s+tx) - g(s)) M(ds,dx)$，其中 $g$ 为周期函数，$Q(dx) = x^{-1-\beta} dx$。
• 此类过程的自相似指数 $H$ 为 $H = \beta / \alpha$，前提是 $g \in L^\alpha(\text{Leb})$ 且 $\int_0^{2\pi} |g(s+t)-g(s)|^\alpha ds = O(t^{-r})$ 当 $t \to 0$ 时，对某 $r > \beta > 0$ 成立。
• 两个具有参数 $(f_1, Q_1)$ 与 $(f_2, Q_2)$ 的混合旋转平均过程分布相等，当且仅当 $Q_1 \sim Q_2$，且存在可测函数 $\tau: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ 与 $h$，使得 $Uf(s,x) = h(x)f(s + \tau(x), x)$ 可扩张为 $L^\alpha(\text{Leb} \times Q)$ 上的线性等距。
• 对于保守过程，$X_1 \stackrel{d}{=} X_2$ 当且仅当 $\beta_1 = \beta_2$ 且 $g_2(\cdot) = \epsilon g_1(\cdot + \tau) + c$，其中 $\epsilon = \pm 1$，$c \in \mathbb{R}$，$\tau \in [0, 2\pi)$。
• 谱表示 $f(t,s,x) = g(s+tx) - g(s)$ 为极小表示，当且仅当 $g$ 为周期性极小函数，即对每个 $x$，$g(\cdot, x)$ 的最小周期为 $2\pi$。
• 分布等价性证明依赖于：若 $g_1$ 与 $g_2$ 为周期性极小函数，则其差函数 $f_1(1,\cdot)$ 与 $f_2(1,\cdot)$ 亦为周期性极小函数，从而可应用定理4.9。