[论文解读] On the modularity of 3-regular random graphs and random graphs with given degree sequences

Lyuben Lichev, Dieter Mitsche|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2020

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 27被引用 4

一句话总结

本文建立了3-正则随机图和给定度序列的随机图的模ularity的渐近几乎必然（a.a.s.）下界和上界。它证实了McDiarmid和Skerman的猜想，即3-正则图的模ularity几乎必然不低于0.667026，同时将上界改进至0.789998。对于一般度序列，推导出依赖于度分布和巨分量存在的模ularity边界。

ABSTRACT

The modularity of a graph is a parameter that measures its community structure; the higher its value (between $0$ and $1$), the more clustered the graph is. In this paper we show that the modularity of a random $3$-regular graph is at least $0.667026$ asymptotically almost surely (a.a.s.), thereby proving a conjecture of McDiarmid and Skerman. We also improve the a.a.s. upper bound given therein to $0.789998$. For a uniformly chosen graph $G_n$ over a given bounded degree sequence with average degree $d(G_n)$ and with $|CC(G_n)|$ many connected components, we distinguish two regimes with respect to the existence of a giant component. In the subcritical regime, we compute the second term of the modularity. In the supercritical regime, we prove that there is $\\varepsilon > 0$, for which the modularity is a.a.s. at least \\begin{equation*} \\dfrac{2\\left(1 - \\mu\ ight)}{d(G_n)}+\\varepsilon, \\end{equation*} where $\\mu$ is the asymptotically almost sure limit of $\\dfrac{|CC(G_n)|}{n}$.

研究动机与目标

• 为解决McDiarmid和Skerman的猜想，即随机3-正则图的模ularity下界为2/3 + δ（δ > 0）
• 改进随机3-正则图模ularity的渐近几乎必然（a.a.s.）上界
• 在亚临界和超临界两种情形下，分析具有给定度序列的随机图的模ularity，特别关注巨分量的作用和连通分量数量的影响
• 推导模ularity的显式渐近表达式，以度分布和连通分量数等结构参数为变量

提出的方法

• 使用配置模型生成具有给定度序列的随机图，分析连通分量的结构及其与最大分量的连通性
• 应用一阶和二阶矩方法，对连接到最大分量的小分量（无环、有环或通过多条边连接）的数量进行界控，确保测度集中
• 引入参数 $ Q = \sum_{i \geq 1} i(i-2)p_i $ 以区分亚临界（$ Q < 0 $）和超临界（$ Q > 0 $）情形，其中 $ p_i $ 表示度为 $ i $ 的顶点的极限比例
• 采用两阶段探索过程识别一个高密度子图 $ A'_{\text{max}} $，随后用于构造实现高模ularity的划分
• 通过分析 $ A'_{\text{max}} $ 内部的边密度及其与图其余部分的连接性，结合对半边数和分量大小的界控，推导模ularity下界
• 应用集中不等式和概率界，证明连接到主分量恰好两条边的分量数量集中在其期望附近，从而实现对模ularity的紧密控制

实验结果

研究问题

• RQ1 随机3-正则图的模ularity是否渐近几乎必然超过2/3，从而证实McDiarmid和Skerman的猜想？
• RQ2 随机3-正则图模ularity的最优渐近几乎必然上界是多少？
• RQ3 在无巨分量的亚临界情形（$ Q < 0 $）与有巨分量的超临界情形（$ Q > 0 $）下，具有给定度序列的随机图模ularity行为有何不同？
• RQ4 在超临界情形下，能否建立一个优于仅按连通分量划分所得的平凡下界？
• RQ5 当 $ Q = 0 $ 时，即度分布处于临界阈值时，模ularity的渐近行为如何？

主要发现

• 随机3-正则图的模ularity几乎必然不低于0.667026，证实了McDiarmid和Skerman的猜想。
• 随机3-正则图模ularity的a.a.s.上界被改进至0.789998。
• 在亚临界情形（$ Q < 0 $）下，模ularity渐近为 $ 1 - \frac{c}{Mn} + o(\frac{1}{n}) $，其中 $ c $ 和 $ M $ 依赖于度分布。
• 在超临界情形（$ Q > 0 $）下，模ularity几乎必然至少为 $ \frac{2(1 - \mu)}{d(G_n)} + \varepsilon $，其中 $ \mu = \lim \frac{|CC(G_n)|}{n} $，$ d(G_n) $ 为平均度。
• 恰好通过两条边连接到最大分量的分量数量集中在 $ C_2 \varepsilon'^2 n $ 附近，而通过三条边连接的分量数量为 $ o(n) $，从而实现对模ularity的紧密控制。
• 分析表明，在超临界情形下，与仅按连通分量划分相比，模ularity的增益是非平凡的，并且在数量上受到有界控制。