[论文解读] On the moduli part of the Kawamata-Kodaira canonical bundle formula

Caucher Birkar, Yifei Chen|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文通过构造一个解耦和一个合适的有效除子，证明了在 Kawamata-Kodaira 的 canonical bundle 公式中，模数 b-除子的任意小扰动是半ample 的。该结果解决了 Fujino 和 Gongyo 的一个猜想，表明若 $ f: X \to Z $ 是光滑射影代数簇之间的光滑态射，且 $ -K_X $ 是半ample 的，则 $ -K_Z $ 也是半ample 的。

ABSTRACT

It is conjectured that the moduli b-divisor of the Kawamata-Kodaira canonical bundle formula associated to a klt-trivial fibration $(X,B) o Z$ is semi-ample. In this paper, we show the semi-ampleness of an arbitrarily small perturbation of the moduli b-divisor by a fixed appropriate divisor which roughly speaking comes from a section of $K_X+B$. We apply the above result to settle a conjecture of Fujino and Gongyo: if $f\colon X o Z$ is a smooth surjective morphism of smooth projective varieties with $-K_X$ semi-ample, then $-K_Z$ is also semi-ample. We list several counter-examples to show that this fails without the smoothness assumption on $f$.

研究动机与目标

• 证明 klt-平凡纤维化中 Kawamata-Kodaira canonical bundle 公式里模数 b-除子的扰动的半ample 性质。
• 解决 Fujino 和 Gongyo 关于当 $ -K_X $ 是半ample 时，光滑纤维化 $ f: X \to Z $ 的 $ -K_Z $ 的半ample 性的猜想。
• 建立模数 b-除子本身虽不一定半ample，但通过来自 $ K_X + B $ 的一个截面的固定除子进行小扰动后，会变成半ample 的结论。
• 提供反例，表明光滑性假设对猜想成立是必不可少的。

提出的方法

• 使用极小模型程序，构造一个 Ambro 模型 $ Y \to Z $ 的解耦 $ \phi: W \to Y $，其中 $ Y $ 是 klt-平凡纤维化基空间 $ Z $ 的一个解耦。
• 在 $ Y $ 上定义一个 $ \mathbb{Q} $-除子 $ \Delta_Y = B_Y + E $，其中 $ E \geq 0 $ 是一个关于 $ Z $ 的例外 $ \mathbb{Q} $-除子，使得 $ (Y, \Delta_Y) $ 是 klt 的。
• 应用定理 1.2，证明当 $ \alpha \gg 0 $ 时，$ W $ 上的除子 $ \alpha M_W + G $ 是半ample的，其中 $ G \leq \phi^*D_Y $ 且 $ D_Y \sim_{\mathbb{Q}} K_Y + \Delta_Y + bM_Y $。
• 利用负性引理，证明 $ G $ 在 $ Z $ 中任意一般点 $ z \in Z $ 的一个邻域上为零，从而说明 $ G $ 是例外的，且不支配 $ z $。
• 构造一个 $ \mathbb{Q} $-除子 $ P_W \geq 0 $，使得 $ \alpha M_W + G \sim_{\mathbb{Q}} P_W $，且 $ P_W $ 与 $ z $ 上的纤维不相交，因此 $ P_Z = \sigma_*\phi_*P_W \geq 0 $ 是一个 $ \mathbb{Q} $-除子，满足 $ z \notin \operatorname{Supp} P_Z $。
• 由此得出 $ M_Z $ 的稳定基簇不包含任何点 $ z \in Z $，因此 $ -K_Z $ 是半ample的。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 klt-平凡纤维化中，Kawamata-Kodaira canonical bundle 公式里的模数 b-除子是否是半ample的？
• RQ2 能否通过来自 $ K_X + B $ 的一个截面的固定除子进行扰动，来建立模数 b-除子的半ample 性？
• RQ3 当 $ -K_X $ 是半ample 时，是否能推出光滑纤维化 $ f: X \to Z $ 的 $ -K_Z $ 也是半ample的？
• RQ4 当去掉 $ f $ 的光滑性假设时，$ -K_Z $ 的半ample 性会发生什么变化？
• RQ5 canonical bundle 公式能否在不依赖于关于 nef 或 big 反canonical 除子的已知结果的前提下，用于证明 $ -K_Z $ 的半ample 性？

主要发现

• canonical bundle 公式中的模数 b-除子 $ M_Y $ 不一定是半ample 的，但对足够大的 $ \alpha \gg 0 $，其任意小扰动 $ \alpha M_W + G $ 是半ample的，其中 $ G $ 是一个在解耦 $ W \to Y $ 上的非负 $ \mathbb{Q} $-除子。
• 扰动 $ \alpha M_W + G $ 的构造方式满足 $ G \leq \phi^*D_Y $ 且 $ R(W, lG) \simeq R(Y, lD_Y) $ 对某个 $ l > 0 $ 成立，从而确保与截面环的相容性。
• 该结果意味着：当 $ f: X \to Z $ 是光滑射影代数簇之间的光滑态射，且 $ -K_X $ 是半ample 时，$ -K_Z $ 也是半ample 的，从而解决了 Fujino 和 Gongyo 的一个猜想。
• 该证明依赖于负性引理，表明扰动除子 $ G $ 在 $ Z $ 中任意点 $ z \in Z $ 的邻域上为零，因此 $ \alpha M_Z \sim_{\mathbb{Q}} P_Z \geq 0 $ 且 $ z \notin \operatorname{Supp} P_Z $，从而证明了 $ -K_Z $ 在稳定基簇意义下是无基点的。
• 反例表明，$ f $ 的光滑性假设是必不可少的：若无此假设，则 $ -K_X $ 半ample 并不蕴含 $ -K_Z $ 半ample。
• 即使在特殊情形 $ K_X + B \sim_{\mathbb{Q}} 0 $ 下，取 $ D_Y = E $，该构造依然能保证扰动后模数除子的半ample 性。