[论文解读] On the Moduli Space of Asymptotically Flat Manifolds with Boundary and the Constraint Equations

Sven Hirsch, Martin Lesourd|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文通过一种构造性方法，绕过Cerf定理，建立了在零标量曲率与平均凸边界条件下，渐近平坦的带边3-流形的模空间的道路连通性。利用Carlotto-Li关于正标量曲率与平均凸边界的成果及共形变形技术，作者证明了所有此类度量在 $\mathbb{R}^3 \setminus B^3$ 上可连续变形为彼此，同时保持 $R=0$ 与 $H=0$，并将其推广至广义相对论中的极大初始数据集。

ABSTRACT

Let $X$ be a closed $3$-manifold, $\mathcal{M}_{R>0}$ the space of metrics on $X$ with positive scalar curvature, and $ ext{Diff}(X)$ the group of diffeomorphisms of $X$. Marques proves the fundamental result that $\mathcal{M}_{R>0}/ ext{Diff}(X)$ is path connected. Using this and the theorem of Cerf in differential topology, Marques shows that the space of asymptotically flat metrics with nonnegative scalar curvature on $\mathbb{R}^3$ is path connected. Based on Carlotto-Li's generalization of Marques' result to the case of compact manifold with boundary, we show that the space of asymptotically flat metrics with nonnegative scalar curvature and mean convex boundary on $\mathbb{R}^3\backslash B^3$ is path connected. The differential topology part of Marques' argument no longer yields the desired result for $\mathbb{R}^3\setminus B^3$, but we bypass this issue by finding a more elementary proof. We also include a path-connectedness result for the space of black hole initial data sets, which can be thought of as a necessary condition for the Final State Conjecture.

研究动机与目标

• 建立在零标量曲率与平均凸边界条件下，渐近平坦带边3-流形的模空间的道路连通性。
• 将Marques关于闭流形的道路连通性结果推广至非紧致带边流形，特别是 $\mathbb{R}^3 \setminus B^3$。
• 通过构造一个与微分同胚无关的路径，克服在边界存在时Cerf定理失效的问题，避免依赖 $\mathrm{Diff}_\partial(A^3)$。
• 将结果应用于广义相对论的约束方程，证明具有边缘外捕获边界的最大真空初始数据集的空间在道路连通性上成立。

提出的方法

• 利用Carlotto-Li关于紧致带边3-流形上 $\mathcal{M}_{R>0,H>0}/\mathrm{Diff}(X)$ 的道路连通性结果，在 $S^3 \setminus B^3$ 上构造一个模型。
• 应用引理4.2，通过共形变形将任意渐近平坦度量（满足 $R=0$，$H=0$）变形为保持曲率与边界条件的标准形式。
• 利用定理1.2与文献[4]的工作，在 $S^3 \setminus B^3$ 上构造一组Yamabe正度量的路径，确保在双重空间中保持道路连通性。
• 利用引理4.5显式构造微分同胚，将路径从 $S^3 \setminus B^3$ 提升回 $\mathbb{R}^3 \setminus B^3$，同时保持渐近平坦性与曲率条件。
• 采用带边界的Lichnerowicz方程，通过共形变形使初始数据集满足 $R = |\sigma|_g^2$ 与 $H + \sigma(\nu,\nu) \leq 0$。
• 利用上下解方法求解满足 $u \to 1$ 在无穷远处且 $0 < u \leq 1$ 的 $u$ 的Lichnerowicz方程，确保共形因子的存在性与唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否证明 $\mathbb{R}^3 \setminus B^3$ 上满足 $R=0$ 与 $H=0$ 的渐近平坦3-流形的模空间是道路连通的？
• RQ2 当 $\mathrm{Diff}_\partial(A^3)$ 不是道路连通时，是否阻碍了Marques的证明策略在带边流形上的直接应用？
• RQ3 能否在不依赖Cerf定理的前提下，构造一条从两个此类度量之间的显式、与微分同胚无关的路径？
• RQ4 在 $W^{k,p}_\rho$ 拓扑下，具有边缘外捕获边界的极大真空初始数据集的空间是否道路连通？
• RQ5 能否使用共形变形技术，在连续演化过程中保持 $R=0$、$H=0$ 以及约束方程？

主要发现

• 在 $W^{k,p}_\rho$ 拓扑下，$\mathbb{R}^3 \setminus B^3$ 上满足 $R=0$、$H=0$ 的渐近平坦度量空间 $\mathcal{M}_{R=0,H=0}^{k,p,\rho}$ 是道路连通的。
• 定理1.3中构造的路径可连续地将任意满足 $R=0$、$H=0$ 的渐近平坦度量变形为Riemannian Schwarzschild度量 $g_S$。
• 空间 $\mathcal{M}_{R\geq 0,H\geq 0}^{k,p,\rho}$ 也是道路连通的，该结果被推广至非负曲率与平均曲率的情形。
• 在 $W^{k,p}_\rho \oplus W^{k-1,p}_{\rho-1}$ 拓扑下，具有边缘外捕获边界的极大真空初始数据集空间 $\mathcal{M}_{BH}$ 是道路连通的。
• 带边界的Lichnerowicz方程在 $1 + W^{k,p}_\rho$ 中存在唯一解 $u$，且满足 $0 < u \leq 1$，从而保证了保持曲率与边界条件的共形因子的存在性。
• 该证明通过显式构造共形变形与提升路径，避免了对微分同胚群同伦型的依赖，从而绕过了 $\mathrm{Diff}_\partial(A^3)$ 的非道路连通性问题。