[论文解读] On the moduli space of nonnegatively curved metrics on Milnor spheres

Anand Dessai|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 16被引用 7

一句话总结

本文证明了任意米爾諾球（作为 $ S^3 $-丛 over $ S^4 $ 的同伦 7-球）上非负曲率度量的模空间具有无限多个道路连通分支。通过格魯布-齊勒在等腰一性流形上构造非负曲率度量的方法，以及格羅莫夫-勞森相對指标论证的改進，作者表明在固定米爾諾球上存在无限多组此类度量，它们在模空间中代表不同的连通分支。该结果同样适用于正里奇曲率度量的模空间。

ABSTRACT

Let $M$ be a Milnor sphere or, more generally, the total space of a linear $S^3$-bundle over $S^4$ with $H^4(M;\mathbb{Q})=0$. We show that the moduli space of metrics of nonnegative sectional curvature on $M$ has infinitely many path components. The same holds true for the moduli space of metrics of positive Ricci curvature on $M$.

研究动机与目标

• 解決格魯布與齊勒關於異常 7-球上非負曲率度量模空間結構的疑問。
• 確立米爾諾球上非負截面曲率度量模空間具有無限多個道路連通分支。
• 將結果推廣至米爾諾球上正里奇曲率度量的模空間。
• 將結果推廣至 $ S^3 $-丛 over $ S^4 $ 的全空間，且其有理 $ H^4 $ 平凡。

提出的方法

• 透過在 $ S^4 $ 上的主 $ SO(4) $-丛上使用格魯布-齊勒的等腰一性構造，在米爾諾球上構造非負曲率度量。
• 利用 $ \boldsymbol{\mu} $-不變量對米爾諾球的分類，參數化這些流形的微分同胚類型。
• 應用格羅莫夫與勞森基於相對指標準量的想法，以區分非負曲率度量模空間中的道路連通分支。
• 證明里奇流保持正里奇曲率模空間中各分支的差異性。
• 透過歐拉與龐特里亞金類的分類，將論證推廣至 $ S^4 $ 上滿足 $ H^4(M;\mathbb{Q}) = 0 $ 的 $ S^3 $-丛。
• 驗證當 $ k \equiv l \mod 112n $ 時，所構造的度量族產生微分同胚的全空間，但模空間中的連通分支彼此不同。

实验结果

研究问题

• RQ1 米爾諾球上非負曲率度量的模空間是否具有無限多個道路連通分支？
• RQ2 格羅莫夫-勞森相對指標準量方法能否區分異常 7-球上非負曲率度量模空間中的連通分支？
• RQ3 該結果是否同樣適用於米爾諾球上正里奇曲率度量的模空間？
• RQ4 該結果能否推廣至 $ S^4 $ 上具有平凡有理 $ H^4 $ 的線性 $ S^3 $-叢的全空間？
• RQ5 在固定米爾諾球上是否存在無限多組彼此不同胚的度量，使其在非負曲率度量模空間中代表不同的連通分支？

主要发现

• 任意米爾諾球上非負曲率度量的模空間具有無限多個道路連通分支。
• 任意米爾諾球上正里奇曲率度量的模空間亦具有無限多個道路連通分支。
• 該結果可推廣至所有滿足 $ H^4(M;\mathbb{Q}) = 0 $ 的 $ S^3 $-叢 over $ S^4 $ 的全空間，其中包括所有米爾諾球。
• 對於固定米爾諾球 $ M_l $，當 $ k \in l + 112n\cdot\mathbb{N} $ 時所構造的度量 $ g_k $ 在 $ {\cal M}_{sec\geq 0}(M) $ 中彼此位於不同的道路連通分支。
• 這些度量經里奇流演化後，在 $ {\cal M}_{Ric>0}(M) $ 中產生的分支亦彼此不同。
• 證明依賴於相對指標準量來區分分支，避免使用更複雜的不變量（如克雷克-斯托爾茨不變量）。