[论文解读] On the moduli space of pairs consisting of a cubic threefold and a hyperplane

Radu Laza, Gregory Pearlstein+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 30被引用 3

一句话总结

该论文通过将每个此类对 (X,H) 关联到一个带有 Eckardt 点的格拉蒂斯极化三次四fold Y，为三次三fold 与 ℙ⁴ 中的超平面的对 (X,H) 的模空间构造了一个霍奇理论周期映射。主要结果是，该周期映射在模空间的 GIT 商模型与类型 IV 局域对称域的 Baily-Borel 紧化之间诱导出一个同构。

ABSTRACT

We study the moduli space of pairs $(X,H)$ consisting of a cubic threefold $X$ and a hyperplane $H$ in $\mathbb P^4$. The interest in this moduli comes from two sources: the study of certain weighted hypersurfaces whose middle cohomology admit Hodge structures of $K3$ type and, on the other hand, the study of the singularity $O_{16}$ (the cone over a cubic surface). In this paper, we give a Hodge theoretic construction of the moduli space of cubic pairs by relating $(X,H)$ to certain "lattice polarized" cubic fourfolds $Y$. A period map for the pairs $(X,H)$ is then defined using the periods of the cubic fourfolds $Y$. The main result is that the period map induces an isomorphism between a GIT model for the pairs $(X,H)$ and the Baily-Borel compactification of some locally symmetric domain of type IV.

研究动机与目标

• 为由三次三fold X 和 ℙ⁴ 中的超平面 H 组成的对 (X,H) 构造一个霍奇理论模空间。
• 将此类对与存在 Eckardt 点的三次四fold Y 关联起来，即其超平面截面包含一个三次曲面锥面。
• 通过关联的三次四fold Y 的周期来定义对 (X,H) 的周期映射。
• 建立周期映射在模空间的 GIT 商模型与类型 IV 局域对称域的 Baily-Borel 紧化之间诱导出同构。
• 通过格拉蒂斯极化与 Torelli 型定理提供周期映射的霍奇理论紧化。

提出的方法

• 通过取 ℙ⁴ 上关于 X ∪ H 的双覆盖构造一个三次四fold Y，从而得到一个在 ℙ(1,2,2,2,2,3) 中度数为 6 的拟光滑加权超曲面。
• 将关联的三次四fold Y 描述为 M-极化，其中 M 是 H⁴(Y,ℤ) ∩ H²²(Y) 中由超平面类与来自三次曲面 X ∩ H 的缩放 E₆ 格组成的饱和子格。
• 利用 Voisin 的三次四fold Torelli 定理与格理论，证明 (X,H) 的模空间双有理等价于类型 IV 的局域对称域。
• 定义周期映射 𝒫₀: 𝒪₀ → 𝒟ₘ / O⁺(T)，其中 T = M⊥ 在 H⁴(Y,ℤ) 中，𝒟ₘ 是 T 上具有 Hodge 数 (0,1,14,1,0) 的权重 4 Hodge 结构的周期域。
• 通过 Torelli 定理与格 M 的几何性质，证明周期映射是其像上的同构。
• 通过将构造扩展到局域对称域的 Baily-Borel 紧化，实现周期映射的紧化。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用霍奇理论构造由三次三fold 与超平面组成的对 (X,H) 的模空间？
• RQ2 从对 (X,H) 中出现的三次四fold 的霍奇理论特征是什么？
• RQ3 能否通过关联的三次四fold Y 的周期来定义 (X,H) 模空间的周期映射？
• RQ4 从 (X,H) 模空间到局域对称域的周期映射是否为同构？
• RQ5 周期映射的紧化如何与对称域的 Baily-Borel 紧化相关联？

主要发现

• 光滑三次对 (X,H) 的模空间双有理等价于一个类型 IV 的局域对称域。
• 周期映射 𝒫₀: 𝒪₀ → 𝒟ₘ / O⁺(T) 是其像上的同构，从而在霍奇理论意义上统一化了模空间。
• 关联的三次四fold Y 被表征为 M-极化，其中 M 是 H⁴(Y,ℤ) ∩ H²²(Y) 中的饱和子格，包含来自三次曲面 X ∩ H 的缩放 E₆ 格。
• 周期域 𝒟ₘ 参数化了正交补 T = M⊥ 上的权重 4 Hodge 结构，其 Hodge 数为 (0,1,14,1,0)。
• 群 O⁺(T) 作为 𝒟ₘ 的稳定子群，商空间 𝒟ₘ / O⁺(T) 同构于 (X,H) 模空间的 GIT 商模型。
• 该构造通过对称域的 Baily-Borel 紧化，提供了模空间的霍奇理论紧化。