[论文解读] On the moduli space of semi-stable plane sheaves with Euler characteristic one and supported on sextic curves

Mario Maican|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文研究复射影平面上、欧拉示性数为1的六次曲线上的Gieseker半稳定层的模空间。它为所有此类层提供了长度为一的局部自由解析式，通过层的上同调条件将模空间分解为五个层，每个层被描述为参数空间在代数群作用下的几何商，提供了每个层中层的显式几何与上同调特征。

ABSTRACT

We study the moduli space of Gieseker semi-stable sheaves on the complex projective plane supported on sextic curves and having Euler characteristic one. We determine locally free resolutions of length one for all such sheaves. We decompose the moduli space into strata which occur naturally as quotients modulo actions of certain algebraic groups. In some cases we give concrete geometric descriptions of the strata.

研究动机与目标

• 理解参数化P²上具有Hilbert多项式P(m) = 6m + 1的Gieseker半稳定层的模空间M_{P²}(6,1)的几何结构。
• 基于层的上同调不变量，将此模空间分解为若干层，每一层对应于不同类型的层。
• 为所有此类层构造长度为一的局部自由解析式，从而实现对各层的显式几何描述。
• 将每个层描述为一个态射空间参数空间在代数群作用下的几何商。
• 通过对偶同构M_{P²}(6,1) ≅ M_{P²}(6,5)将各层与对偶模空间联系起来，扩展了对低次曲线已知结果的结论。

提出的方法

• 模空间M_{P²}(6,1)根据层的上同调条件被划分为五个局部闭子集X₀至X₅。
• 每个层Xi被实现为局部闭子集Wi ⊂ Hom(Ai, Bi)在Aut(Ai) × Aut(Bi)作用下的几何商，其中Ai与Bi是线丛的直和。
• 为每个层中所有层构造长度为一的局部自由解析式，其中层为某个φ ∈ Hom(Ai, Bi)的余核。
• 通过纤维丛结构描述各层：X₀在N(3,5,4)上为纤维丛，X₂在Y × P²上为纤维丛，X₃在P² × N(3,2,3)上为纤维丛，X₄有理等价于Grass(2,6)上的纤维丛，X₅同构于一个Hilbert旗簇。
• 利用对偶性将M_{P²}(6,1)与M_{P²}(6,5)联系起来，其中对偶层X_i^D由对偶上同调条件定义。
• 通过上同调消去与稳定性论证排除不稳定子层，确保各层定义良好且不可约。

实验结果

研究问题

• RQ1 支持在欧拉示性数为1的六次曲线上之半稳定层的模空间M_{P²}(6,1)的几何结构是什么？
• RQ2 如何根据其参数化层的上同调不变量对模空间进行分层？
• RQ3 所有此类层的显式长度为一的局部自由解析式是什么？它们如何将层实现为态射空间参数空间的商？
• RQ4 各层如何与已知模空间如N(3,5,4)、N(3,2,3)和Grass(2,6)相关联？
• RQ5 对偶在将M_{P²}(6,1)与M_{P²}(6,5)联系起来时起什么作用？对偶层如何表征？

主要发现

• 模空间M_{P²}(6,1)是一个光滑、不可约、有理的射影代数簇，维数为37。
• 该空间被划分为五个层：X₀（开集，余维数0），X₁与X₂（余维数2），X₃ ∪ X₄（余维数6），X₅（余维数8）。
• X₀是N(3,5,4)上纤维为P¹⁷的纤维丛的开子集，其中N(3,5,4)是半稳定Kronecker模f: 5O(-2) → 4O(-1)的模空间。
• X₅同构于参数化六次曲线及其长度为2的零维子概形的Hilbert旗簇。
• X₃中的一般层形如O_C(2)(-P₁ - P₂ - P₃ + P₄)，其中P₁, P₂, P₃为光滑六次曲线C上不共线的点。
• X₄中的一般层形如O_C(1)(P₁ + P₂ + P₃ + P₄)，其中C上任意三点不共线。