[论文解读] On the Moduli Space of Singular Euclidean Surfaces

Marc Troyanov|ArXiv.org|Feb 22, 2007

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 17被引用 29

一句话总结

本文通过将Teichmüller空间实现为具有锥形奇点的平坦度量的形变空间，在带 punctured 的黎曼曲面的模空间上构造了新的几何结构。利用到欧氏运动群的holonomy表示，建立了Teichmüller空间到齐性空间 $Τ^{2g} \times \mathbb{CP}^{2g+n-3}$ 的 $Φ$-等变局部同胚，从而在模轨道丛 $\mathcal{M}_{g,n}$ 上赋予了一族由奇点角数据 $\beta_i$ 参数化的 $(G,X)$-结构。该研究统一了Teichmüller理论、平坦曲面以及轨道丛上的几何结构方法。

ABSTRACT

The goal of this paper is to develop some aspects of the deformation theory of piecewise flat structures on surfaces and use this theory to construct new geometric structures on the moduli space of Riemann surfaces.

研究动机与目标

• 开发带 punctured 黎曼曲面上具有锥形奇点的分片平坦曲面的形变理论。
• 在基本群到欧氏等距群 $\operatorname{SE}(2)$ 的表示簇之间建立对应关系。
• 从Teichmüller空间到齐性空间 $\mathbb{T}^{2g} \times \mathbb{CP}^{2g+n-3}$ 构造一个 $\Phi$-等变局部同胚，使模空间 $\mathcal{M}_{g,n}$ 获得一族几何结构。
• 通过平坦曲面形变，推广并统一 Deligne–Mostow 和 Thurston 关于单值性和复双曲结构的方法。

提出的方法

• 参数化带 punctured 的曲面 $\Sigma_{g,n}$ 上具有指定角 $\beta_i$ 的平坦度量，使得在 punctures 处具有锥形奇点，且满足 $\sum \beta_i = 2g-2$，$\beta_i \in (-1,\infty) \setminus \mathbb{Z}$。
• 将每种此类度量与一个 holonomy 表示 $\rho: \pi_1(\Sigma_{g,n}) \to \operatorname{SE}(2)$ 关联，映射到表示簇 $\mathcal{SR}^{\text{reg}}_{\vec{\beta}}$。
• 通过分解为阿贝尔部分（到 $\mathbb{T}^{2g}$ 的特征映射）和上同调部分（$\mathbb{CP}^{2g+n-3}$ 中的射影类），将此类 holonomy 表示的空间与齐性空间 $\Xi = \mathbb{T}^{2g} \times \mathbb{CP}^{2g+n-3}$ 识别。
• 通过组合 Teichmüller 空间识别、holonomy 映射和到 $\Xi$ 的同构，定义一个 $\Phi$-等变映射 $\mathcal{H}: \mathcal{T}_{g,n} \to \Xi$，其中使用了纯映射类群 $\operatorname{PMod}_{g,n}$ 在表示簇上的作用。
• 利用 $\mathcal{T}_{g,n}$ 和 $\Xi$ 都是实解析流形且维数为 $6g-6+2n$ 的事实，应用 Brouwer 的域不变性定理，得出 $\mathcal{H}$ 是局部同胚。
• 在球面情形（$g=0$）下，证明单值表示的像位于 $PU(1,n-3)$ 中，且在 $\beta_i$ 满足算术条件时，像为格，从而得到有限体积的复双曲轨道丛。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否自然地将带 punctured 的曲面的 Teichmüller 空间识别为具有锥形奇点的平坦度量的形变空间？
• RQ2 此类平坦度量的 holonomy 表示如何与 $\operatorname{SE}(2)$ 中的表示簇相关联？
• RQ3 模空间 $\mathcal{M}_{g,n}$ 从这种 holonomy 对应中继承了何种几何结构？
• RQ4 在何种条件下，纯 braid 群在 $\mathcal{T}_{0,n}$ 上的单值表示在 $PU(1,n-3)$ 中生成一个格？
• RQ5 该构造能否统一 Deligne–Mostow 的代数几何方法与 Thurston 的几何拓扑方法？

主要发现

• Teichmüller 空间 $\mathcal{T}_{g,n}$ 允许一个 $\Phi$-等变局部同胚 $\mathcal{H}: \mathcal{T}_{g,n} \to \mathbb{T}^{2g} \times \mathbb{CP}^{2g+n-3}$，其中 $\Phi: \operatorname{PMod}_{g,n} \to \operatorname{Aut}(\mathbb{T}^{2g}) \times \operatorname{PGL}_{2g+n-2}(\mathbb{C})$ 是一个群同态。
• 映射 $\mathcal{H}$ 将每类奇异平坦度量的同伦类发送到其 holonomy 表示，从而在表示簇的商空间中实现了 Teichmüller 空间的几何实现。
• 对于带 punctured 的球面（$g=0$），该构造给出一个 $\Phi$-等变局部同胚 $\mathcal{H}: \mathcal{T}_{0,n} \to \mathbb{CP}^{n-3}$，其中 $\Phi: PB_n \to \operatorname{PGL}_{n-2}(\mathbb{C})$。
• 当 $-1 < \beta_i < 0$，$\sum \beta_i = -2$，且 $\beta_i + \beta_j > -1 \Rightarrow (1 + \beta_i + \beta_j)^{-1} \in \mathbb{N}$ 时，图像 $\Phi(PB_n)$ 是 $PU(1,n-3)$ 中的格，从而产生有限体积的复双曲轨道丛。
• 模空间的完备化 $\overline{\mathcal{M}}$ 携带一个自然的具有锥形奇点的复双曲度量，且在算术条件成立时为轨道丛。
• 特征映射 $\rho: \mathcal{T}_{g,n} \to \mathbb{T}^{2g}$ 是一个实解析子mersion，其纤维携带以 $\mathbb{CP}^{2g+n-3}$ 为模型的几何结构。