[论文解读] On the moduli spaces of left-invariant pseudo-Riemannian metrics on Lie groups

Akira Kubo, Kensuke Onda+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文利用此类度量的模空间，为李群上的左不变伪黎曼度量发展了一种广义Milnor标架程序，实现了曲率性质的分类。证明了在实双曲空间李群上，任意符号差的左不变伪黎曼度量均具有常曲率，推广了已知的洛伦兹和黎曼情形结果。

ABSTRACT

In this paper, we formulate a procedure to obtain a generalization of Milnor frames for left-invariant pseudo-Riemannian metrics on a given Lie group. This procedure is an analogue of the recent studies on left-invariant Riemannian metrics, and is based on the moduli space of left-invariant pseudo-Riemannian metrics. As one of applications, we show that any left-invariant pseudo-Riemannian metrics of arbitrary signature on the Lie groups of real hyperbolic spaces have constant sectional curvatures.

研究动机与目标

• 制定一种构造李群上左不变伪黎曼度量的广义Milnor型标架的通用程序。
• 将此前仅用于黎曼度量的模空间方法扩展至伪黎曼情形。
• 分析特定李群（尤其是实双曲空间李群）上左不变伪黎曼度量的曲率性质。
• 证明在实双曲空间李群上，所有此类度量均具有常曲率，无论其符号差如何。
• 通过结构与曲率分析，阐明黎曼情形与伪黎曼情形之间的差异。

提出的方法

• 该方法基于左不变伪黎曼度量的模空间，定义为 ℝ×Aut(𝔤) 在符号差为 (p,q) 的度量空间上的作用的轨道空间。
• 通过在模空间中寻找能简化李代数括号关系的代表元，构造广义Milnor标架。
• 该程序使用一组规范代表元，如 𝔘* = {I₃ − λE₃,₁ | λ = 0,1,2}，以在伪正交基下对可能的括号结构进行分类。
• 该方法适用于实双曲空间李群 G_ℝ𝐻ⁿ 的李代数 𝔤_ℝ𝐻ⁿ，其括号关系为 [e₁,eⱼ] = eⱼ（j ≥ 2）。
• 利用 𝔐_(p,q)(G) ≅ GLₙ(ℝ)/O(p,q) 在 p,q ≥ 1 时为伪黎曼对称空间的事实，通过群作用实现分类。
• 通过证明所得括号关系仅依赖于离散参数 λ ∈ {0,1,2}，验证了该构造的有效性，从而简化了曲率计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为左不变伪黎曼度量发展一种类似于已知黎曼情形的广义Milnor标架程序？
• RQ2 实双曲空间李群上的左不变伪黎曼度量是否对任意符号差均具有常曲率？
• RQ3 左不变伪黎曼度量的曲率性质与同一李群上的黎曼情形相比有何不同？
• RQ4 模空间结构 ℝ×Aut(𝔤) \ 𝔐_(p,q)(G) 在此类度量的分类中起什么作用？
• RQ5 离散参数 λ ∈ {0,1,2} 是否能完全分类任意符号差下伪正交基的括号关系？

主要发现

• 在实双曲空间李群 G_ℝ𝐻ⁿ 上，所有符号差为 (p,q) 的左不变伪黎曼度量均具有常曲率。
• 对任意实数，均存在一个符号差为 (p,q) 的左不变伪黎曼度量，使其常曲率为该实数。
• 广义Milnor标架的括号关系仅依赖于离散参数 λ ∈ {0,1,2}，从而简化了曲率分析。
• 洛伦兹情形（q=1）作为特例被恢复，为Nomizu关于常曲率的结果提供了替代证明。
• 对应于 λ=1 的度量是平坦的，而 λ=0 和 λ=2 对应的度量为非爱因斯坦但为代数 Ricci 孤子度量。
• 通过 λ ∈ {0,1,2} 的分类，建立了 G_ℝ𝐻ⁿ 的李代数可能的伪正交标架结构的完整且有限的参数化。