[论文解读] On the moments of roots of Laguerre-polynomials and the Marchenko-Pastur law

Miklós Kornyik, György Michaletzky|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2016

Random Matrices and Applications被引用 4

一句话总结

该论文通过证明当 $ \alpha_p/p \to c > -1 $ 时，拉盖尔多项式 $ L_p^{(\beta)} $ 的根的 $ k $-次幂和的主导项与 Marchenko-Pastur 分布的 $ k $-阶矩一致，建立了拉盖尔多项式根的矩与 Marchenko-Pastur 分布之间的直接联系。证明依赖于拉盖尔多项式的递推性质和组合路径计数，确认了在 $ p \to \infty $ 极限下，经验根分布弱收敛于 Marchenko-Pastur 分布。

ABSTRACT

In this paper we compute the leading terms in the sum of the $k^{th}$ power of the roots of $L_{p}^{(α)}$, the Laguerre-polynomial of degree $p$ with parameter $α$. The connection between the Laguerre-polynomials and the Marchenko-Pastur distribution is expressed by the fact, among others, that the limiting distribution of the empirical distribution of the normalized roots of the Laguerre-polynomials is given by the Marchenko-Pastur distribution. We give a direct proof of this statement based on the recursion satisfied by the Laguerre-polynomials. At the same time, our main result gives that the leading term in $p$ and $(α+p)$ of the sum of the $k^{th}$ power of the roots of $L_{p}^{(α)}$ coincides with the $k^{th}$ moment of the Marchenko-Pastur law. We also mention the fact that the expectation of the characteristic polynomial of a $XX^T$ type random covariance matrix, where $X$ is a $p imes n$ random matrix with iid elements, is $\ell^{(n-p)}_p$, i.e. the monic version of the $p^{th}$ Laguerre polynomial with parameter $n-p$.

研究动机与目标

• 建立拉盖尔多项式根的矩与 Marchenko-Pastur 分布之间的直接分析联系。
• 提供拉盖尔多项式根的归一化经验分布弱收敛于 Marchenko-Pastur 定律的非复分析证明。
• 以 $ p $ 和 $ \alpha + p $ 表示 $ L_p^{(\beta)} $ 的 $ k $-次幂和的主导渐近行为。
• 阐明拉盖尔多项式作为 $ XX^T $ 随机协方差矩阵特征多项式生成函数的作用。

提出的方法

• 利用拉盖尔多项式满足的递推关系，推导其根的 $ k $-次幂和的渐近展开式。
• 引入组合路径计数模型，识别渐近展开中的系数，将根的幂和建模为格路加权和。
• 基于归一化根的矩，定义生成函数 $ \mathcal{M}_p^{(\alpha)}(z) $，并将其与共轭多项式的对数导数联系起来。
• 在 $ p \to \infty $ 的极限下，对生成函数应用不动点论证，证明其收敛于 Marchenko-Pastur 定律的生成函数。
• 利用如下事实：若 $ X $ 为 $ p \times n $ 的 i.i.d. 随机矩阵（均值为 0，方差为 1），则 $ XX^T $ 的特征多项式的期望为首一拉盖尔多项式 $ \ell_p^{(n-p)} $。
• 对格路实施剪切-拼接变换，以计数终点为 $ (k,1) $ 的合法路径，证明具有 $ j $ 个上行边的此类路径数量为 $ \frac{1}{k} \binom{k}{j} \binom{k}{j-1} $。

实验结果

研究问题

• RQ1 拉盖尔多项式 $ L_p^{(\alpha)} $ 的根的 $ k $-次幂和的主导项是否与 Marchenko-Pastur 分布的 $ k $-阶矩一致？
• RQ2 能否仅通过拉盖尔多项式的递推关系证明根的归一化经验分布弱收敛于 Marchenko-Pastur 定律？
• RQ3 在 $ p $ 和 $ \alpha + p $ 的表达下，$ M_p^{(\alpha)}(k) = \sum_{i=1}^p (\xi_{p,i}^{(\alpha)})^k $ 的精确渐近形式为何？
• RQ4 格路的组合结构如何与拉盖尔多项式根的矩展开中的系数相关联？

主要发现

• 在 $ M_p^{(\alpha)}(k) $ 中，主导项为 $ \sum_{j=1}^k \frac{1}{k} \binom{k}{j} \binom{k}{j-1} p^j (\alpha + p)^{k-j+1} $，其与 Marchenko-Pastur 定律的 $ k $-阶矩一致。
• 当 $ \alpha_p / p \to c > -1 $ 时，$ L_p^{(\alpha_p)} $ 的归一化根的经验分布弱收敛于 Marchenko-Pastur 分布 $ \mu_c $。
• 当 $ c \geq 0 $ 时，极限测度 $ \mu_c $ 绝对连续，其密度为 $ \frac{\sqrt{(x_+-x)(x-x_-)}}{2\pi x} \mathbf{1}_{[x_-,x_+]}(x) $，其中 $ x_\pm = (\sqrt{c+1} \pm 1)^2 $。
• 即使 $ \alpha < 0 $ 不是整数（此时根可能为复数），根的经验分布的 $ k $-阶矩仍收敛于 $ \mu_c $ 的 $ k $-阶矩，但此时极限测度不再支撑于 $ \mathbb{R}_+ $。
• 终点为 $ (k,1) $ 且具有 $ j $ 个上行边的合法格路数量为 $ \frac{1}{k} \binom{k}{j} \binom{k}{j-1} $，该值与渐近展开中 $ p^j (\alpha + p)^{k-j+1} $ 的系数一致。