[论文解读] On the monodromy group of the family of smooth plane curves

Nick Salter|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2016

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 2被引用 6

一句话总结

本文确定了五次光滑平面曲线族的单值群，证明其等于亏格6的映射类群中特定奇性自守形式的稳定子群。通过结合L"onner与Johnson关于Torelli群的代数几何理论，作者证明该自守形式是元素属于单值表示像的唯一障碍，从而解决了平面曲线单值性研究中的一个关键情形。

ABSTRACT

We consider the space of smooth complex projective plane curves of degree d. Defined over this is the tautological family of plane curves, and hence there is a monodromy representation into the mapping class group of the fiber. We show two results concerning this monodromy group. First, we show that the presence of an invariant known as a "n-spin structure" constrains the image in ways not predicted by previous work of Beauville. Second, we show that for degree d=5, our invariant is the only obstruction for a mapping class to be contained in the image. This requires combining the algebro-geometric work of Lönne with Johnson's theory of the Torelli subgroup of the mapping class group.

研究动机与目标

• 确定光滑平面曲线度数 $d$ 的单值表示 $\rho_d: \pi_1(\mathcal{P}_d) \to \operatorname{Mod}(\Sigma_g)$ 的像。
• 识别超出通过辛表示 $\Psi \circ \rho_d$ 可检测的几何或拓扑不变量，以约束 $\rho_d$ 的像。
• 通过证明 $\rho_5$ 的像是 $\operatorname{Mod}(\Sigma_6)$ 中某个经典奇性自守形式的稳定子群，解决 $d=5$ 的情形。
• 证明对于 $d=5$，自守形式障碍是元素属于 $\rho_5$ 的像的充要条件，从而解决单值理论中的一个关键情形。

提出的方法

• 构造一个上同调类 $\phi_d \in H^1(T^{*,1}\Sigma_g; \mathbb{Z}/(d-3)\mathbb{Z})$，对应于canonical bundle 的 $(d-3)$-次根，从而定义一个 $n$-自守形式，其中 $n = d-3$。
• 利用Humphries-Johnson的工作对 $n$-自守形式进行拓扑解释，表明 $\operatorname{Im}(\rho_d)$ 的不变性比辛表示所给出的约束更强。
• 应用L"onner对光滑超曲面模空间基本群的表示，将Picard-Lefschetz生成元识别为单值群中的德恩旋转变换。
• 采用Johnson对Torelli群的生成集，并通过验证每个链的边界曲线的平方属于像，来证明所有4470个生成元均属于 $\operatorname{Im}(\rho_5)$。
• 引入一种新的亏格-$g$ 星关系，以减少验证Torelli群生成元所需的情形数，使计算变得可行。
• 通过共轭配置简化 $\beta$-链映射的验证，利用已知的 $T_b^2$ 与 $T_{c_i}$ 的不变性，证明边界曲线的平方属于 $\operatorname{Im}(\rho_5)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 除了辛表示 $\Psi \circ \rho_d$ 外，还有哪些几何或拓扑不变量约束了单值表示 $\rho_d$ 的像？
• RQ2 对于 $d=5$，奇性自守形式的稳定子群是否就是 $\operatorname{Mod}(\Sigma_6)$ 中 $\rho_5$ 的完整像？
• RQ3 Torelli群的生成元能否在光滑平面五次曲线族中实现为单值变换？
• RQ4 对于 $d=5$，$n$-自守形式障碍是否是 $\operatorname{Mod}(\Sigma_g)$ 中元素属于 $\operatorname{Im}(\rho_d)$ 的唯一障碍？
• RQ5 如何利用光滑平面曲线模空间的基本群，通过德恩旋转变换关系重构单值像？

主要发现

• 对于 $d \geq 4$，$\rho_d$ 的像包含于一个有限指数子群 $\operatorname{Mod}(\Sigma_g)[\phi_d]$ 中，该子群稳定一个特定的 $n$-自守形式（$n = d-3$），表明Beauville的上界并非紧致。
• 对于 $d \geq 6$，有严格包含关系 $\operatorname{Im}(\rho_d) \subsetneqq \Psi^{-1}(\Psi(\operatorname{Im}(\rho_d)))$，证明仅靠同调不变量无法确定单值像。
• 对于 $d=5$，单值像 $\operatorname{Im}(\rho_5)$ 等于 $\operatorname{Mod}(\Sigma_6)[\phi_5]$，即奇性自守形式的稳定子群，从而确立这是唯一的障碍。
• 作者通过验证每个链中边界曲线的平方属于像，利用新的亏格-$g$ 星关系，确认了Johnson在亏格6下的Torelli群所有4470个生成元均属于 $\operatorname{Im}(\rho_5)$。
• 证明依赖于共轭配置以减少情形数，并利用 $T_b^2, T_{c_i} \in \operatorname{Im}(\rho_5)$（$1 \leq i \leq 12$）的事实，通过链关系验证了边界对映射。
• 结果表明，在五次曲线情形下，平面性并非单值性的限制条件，因为单值群在自守形式约束下仍达到最大可能规模。