[论文解读] On the monotonicity of perimeter of convex bodies

Giorgio Stefani|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2016

Point processes and geometric inequalities参考文献 2被引用 5

一句话总结

本文建立了在 $ℝ^n$ 中嵌套凸体 $A \subset B$ 的各向异性 $\Phi$-周长差的定量下界，以它们的Hausdorff距离表示。关键结果提供了涉及Wulff形状、Hausdorff距离 $h(A,B)$ 和由各向异性 $\Phi$ 导出的函数 $g_\nu$ 的精确、尖锐下界，将经典周长单调性推广至 $\Phi$ 的最小正则性假设下的定量估计。该下界在已知情形下达到等式，具有最优性。

ABSTRACT

Let $n\ge2$ and let $Φ\colon\mathbb{R}^n o[0,\infty)$ be a positively $1$-homogeneous and convex function. Given two convex bodies $A\subset B$ in $\mathbb{R}^n$, the monotonicity of anisotropic $Φ$-perimeters holds, i.e. $P_Φ(A)\le P_Φ(B)$. In this note, we prove a quantitative lower bound on the difference of the $Φ$-perimeters of $A$ and $B$ in terms of their Hausdorff distance.

研究动机与目标

• 建立 $\delta_\Phi(B,A) = P_\Phi(B) - P_\Phi(A)$ 的定量下界，以 $A \subset B$ 在 $\mathbb{R}^n$ 中的凸体的Hausdorff距离 $h(A,B)$ 表示。
• 将 $n=2,3$ 时欧氏周长差的已知尖锐不等式推广至各向异性 $\Phi$-周长设定。
• 为各向异性周长单调性提供一个通用框架，给出显式且具有几何意义的下界，其依赖于 $\Phi$ 的结构。
• 通过识别等式情形（特别是与Wulff形状和锥体构造的关系）证明该下界是尖锐的。

提出的方法

• 该方法基于在实现Hausdorff距离 $h(A,B)$ 的点 $b \in B \setminus A$ 处，以 $a \in A$ 处的支撑半空间 $H$ 构造一个锥 $C = \mathcal{C}(b, B \cap \partial H)$。
• 证明利用了散度定理和表面测度的弱*收敛性，以在凸集逼近序列中取极限。
• 应用了一个关键引理（引理2.3），该引理给出了以Wulff形状 $W_\nu$、高度 $h$ 和满足特定凸性与齐次性条件的函数 $g_\nu$ 表示的锥的 $\Phi$-周长的下界。
• 通过比较锥 $C$ 的 $\Phi$-周长与外集 $B \cap H^c$ 的 $\Phi$-周长，利用 $P_\Phi$ 在包含关系下的单调性，推导出核心不等式。
• 最终通过将锥的周长估计与恒等式 $\delta_\Phi(B,A) \geq \int_{C_{\text{lat}}} \Phi(\nu_C)\, d\mathcal{H}^{n-1} - \Phi(\nu_H) \mathcal{H}^{n-1}(B \cap \partial H)$ 结合，得出主要结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为嵌套凸体的各向异性 $\Phi$-周长差 $\delta_\Phi(B,A)$ 建立以Hausdorff距离 $h(A,B)$ 表示的定量下界？
• RQ2 经典 $\Phi$-周长单调性（$A \subset B$ 蕴含 $P_\Phi(A) \leq P_\Phi(B)$）在小扰动下是否稳定？其稳定性能否被量化？
• RQ3 所推导的各向异性情形下界是否推广了已知的 $n=2$ 和 $n=3$ 欧氏周长差的尖锐不等式？
• RQ4 对 $\Phi$ 的哪些几何与分析条件可确保下界非平凡且尖锐？
• RQ5 该下界能否以Wulff形状和支撑超平面等内在几何对象表达？

主要发现

• 本文建立了不等式 $\delta_\Phi(B,A) \geq \mathcal{H}^{n-1}(W_{\nu_H}) r^{n-2} \left( g_{\nu_H}(h,r) - \Phi(\nu_H) r \right)$，其中 $h = h(A,B)$，$r$ 满足 $r^{n-1} \mathcal{H}^{n-1}(W_{\nu_H}) = \mathcal{H}^{n-1}(B \cap \partial H)$，且 $\nu_H$ 为 $a \in A$ 处支撑超平面的法向量。
• 该下界在等式在特定几何构型下成立的意义上是尖锐的，例如当 $B$ 为Wulff形状且 $A$ 为合适锥体时。
• 该结果推广了文献 [lacivita\&leonetti08] 和 [carozza\etal16] 中已知的 $n=2$ 和 $n=3$ 情形的尖锐不等式，当 $\Phi(x) = |x|$ 时，这些结果作为特例被恢复。
• 下界中的函数 $g_\nu$ 通过确保正性和凸性的分解从各向异性 $\Phi$ 构造而成，且要求其在径向方向上非恒为零且非减。
• 证明依赖于 $\Phi$ 的可容许性条件，该条件确保对所有方向 $\nu$ 均存在此类分解，例如当 $\Phi$ 为强制且凸时即满足。
• 该下界在逼近下具有稳定性：若 $C_k \to C$ 在 $L^1$ 中收敛，且其表面测度弱*收敛，则周长极限被保持，从而验证了锥逼近的合理性。