[论文解读] On the Mori cone of blow-ups of the plane

Tommaso de Fernex|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用 16

一句话总结

本文更正了关于在非常一般点上对射影平面进行 blows up 时，Segre-Harbourne-Gimigliano-Hirschowitz（SHGH）猜想中关于 Mori 锥体的错误理解。通过分析 K-负极端射与有效锥体几何之间的相互作用，证明了当 r ≥ 10 时，Mori 锥体不是可数生成的，且锥体的 K-正部分并非圆形——这与先前声称的等价性相反。关键结果表明，当 r ≥ 10 时，Mori 锥体的边界包含不可数无穷多个极端射。

ABSTRACT

We discuss some properties of the extremal rays of the cone of effective curves of surfaces that are obtained by blowing up the projective plane at points in very general position. The main motivation is to rectify an incorrect interpretation, in terms of the geometry of this cone, of the Segre--Harbourne--Gimigliano--Hirschowitz conjecture. Even though the arguments are based on elementary computations, the point of view leads to observe some other properties of the Mori cone, among which the fact that in the case of ten or more points the cone is not countably generated.

研究动机与目标

• 更正关于 SHGH 猜想在 P² 在非常一般点上进行 blows up 时 Mori 锥体几何的错误解释。
• 阐明 K-负极端射与 Mori 锥体结构（特别是 K-正部分）之间的关系。
• 证明当 r ≥ 10 时，Mori 锥体的 K-正部分并非圆形（即不等于 Q ∩ K≥0），这与先前声称的等价性相反。
• 确立当 r ≥ 10 时，由于 K-正交边界中存在不可数无穷多个极端射，Mori 锥体不是可数生成的。

提出的方法

• 使用 N₁(X) 中的锥定理与对偶性，分析 X（即在 r 个非常一般点上对 P² 进行 blows up 的结果）的 Mori 锥体。
• 利用 K-负极端射由 (−1)-曲线张成的事实，并应用关于负自交的有理曲线的已知结果。
• 应用一个收缩映射 g: X → Y，其中 Y 是在 10 个点上进行 blows up 的结果，将问题约化为低秩情形。
• 通过从 Y 提升那些与 K_Y 正交且不在 (−1)-射线张成空间中的 nef 类，构造出不可数无穷多个 Mori 锥体边界中的极端射。
• 对 r ≥ 10 使用归纳法，通过 blows-down 映射下的类的前推，证明某些射线无法分解为 K-负与 K-正分量的组合。
• 利用如下事实：若类 α 满足 α² = 0 且 K·α = 0，且为 nef 类，则在适当条件下，它在 Nef(X) 和 NE̅(X) 中均张成一个极端射。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 P² 上对 r ≥ 10 个非常一般点进行 blows up 时，Mori 锥体的 K-正部分是否等于二次锥 Q 与 K≥0 的交集？
• RQ2 SHGH 猜想是否能推出当 r ≥ 10 时，Mori 锥体边界是圆形的？
• RQ3 当 r ≥ 10 时，Mori 锥体中是否存在不可数无穷多个极端射？
• RQ4 当 r ≥ 10 时，Mori 锥体中存在 K-负面是否意味着锥体不能是圆形的？
• RQ5 在 r ≥ 10 个非常一般点上对 P² 进行 blows up 时，Mori 锥体是否不是可数生成的？

主要发现

• 当 r ≥ 10 时，Mori 锥体的 K-正部分严格大于 Q ∩ K≥0，因此锥体并非圆形。
• 在 P² 上对 r ≥ 10 个非常一般点进行 blows up 时，Mori 锥体不是可数生成的，原因在于锥体边界中存在不可数无穷多个极端射。
• 当 α 是 Y 中类的拉回，且满足 α² = 0 与 K·α = 0 时，射线 R = R(α) 是 NE̅(X) 与 Nef(X) 的极端射，且不属于任何 (−1)-射线张成的空间。
• 当 r = 10 时，Mori 锥体的 K-正部分是圆形的，当且仅当 (−1)-曲线猜想成立，但该结论不适用于 r > 10。
• 假设 Mori 锥体的 K-正部分是圆形的（即等于 Q ∩ K≥0）是错误的，当 r ≥ 10 时，这与先前声称的等价性相矛盾。
• 当 r ≥ 10 时，Mori 锥体的 K-正交边界中存在不可数无穷多个极端射，意味着该锥体不是可数生成的。