[论文解读] On the motive of zero-dimensional Quot schemes on a curve

Massimo Bagnarol, Fantechi Barbara+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用 8

一句话总结

本文证明了在格罗滕迪克簇的环中，参数化光滑射影曲线 $ C $ 上局部自由层 $ \mathscr{E} $ 的零维商层的 Quot 算子类仅依赖于秩 $ r $ 和长度 $ n $，而不依赖于特定的层。它建立了 $[\mathrm{Q}^n_C(\mathscr{E})] = [\mathrm{Q}^n_C(\mathscr{O}_C^\oplus r)]$ 在 $\mathrm{K}_0(\mathsf{Var})$ 中的等式，并给出了关于对称积的显式公式，证明了不可约性并计算了庞加莱多项式。

ABSTRACT

For any locally free coherent sheaf on a fixed smooth projective curve, we study the class, in the Grothendieck ring of varieties, of the Quot scheme that parametrizes zero-dimensional quotients of the sheaf. We prove that this class depends only on the rank of the sheaf and on the length of the quotients. As an application, we obtain an explicit formula that expresses it in terms of the symmetric products of the curve.

研究动机与目标

• 研究光滑射影曲线上的局部自由层的零维商层参数化 Quot 算子类在格罗滕迪克簇环中的性质。
• 确定该类是否依赖于特定层，还是仅依赖于其秩和商层的长度。
• 以曲线的对称积显式计算该类，并建立 Quot 算子的不可约性。
• 推广已知的 $ r=1 $ 情况，即 $ \mathrm{Q}^n_C(\mathscr{O}_C) \cong \mathrm{Sym}^n(C) $，至更高秩的层。

提出的方法

• 定义一个自然的态射 $ \sigma: \mathrm{Q}^n_C(\mathscr{E}) \to \mathrm{Sym}^n(C) $，将一个商层映射到其支撑。
• 证明 $ \sigma $ 的纤维在 $ C $ 的某个开子集 $ U \subset C $ 上同构于 Quot 算子类，且其同构类型仅依赖于 $ \mathscr{E} $ 的秩 $ r $。
• 使用以多重指标 $ \mathbf{a} \in \mathbb{N}^r $ 索引的 $ \mathrm{Q}^n_C(\mathscr{E}) $ 的分层，其中 $ |\mathbf{a}| = n $，对应于在不相交开子集上商层的次数。
• 构造 $ \mathrm{Q}^n_C(\mathscr{E}) $ 与纤维积 $ \mathrm{Q}^{n-|\mathbf{a}|}_U(\mathscr{E}) \times F_r(D) $ 的同构，其中 $ D $ 是支撑，$ F_r(D) $ 是 $ D $ 上秩 $ r $ 的商层的旗簇。
• 应用格罗滕迪克环的可加性，将 $ [\mathrm{Q}^n_C(\mathscr{E})] $ 表示为对所有 $ \mathbf{a} \in A $ 的求和，并利用 $ \mathscr{E}|_U $ 的平凡性，将其约化为 $ \mathscr{O}_C^{\oplus r} $ 的情形。
• 利用 Bifet (1989) 的结果，推导出关于对称积 $ \mathrm{Sym}^{n_i}(C) $ 和 $ \mathbb{A}^1_k $ 的幂的显式公式，指数为 $ d_{\mathbf{n}} = \sum_{i=1}^r (i-1)n_i $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在格罗滕迪克簇环中，$ \mathrm{Q}^n_C(\mathscr{E}) $ 的类是否仅依赖于 $ \mathscr{E} $ 的秩和长度 $ n $，还是也依赖于特定的层 $ \mathscr{E} $？
• RQ2 类 $ [\mathrm{Q}^n_C(\mathscr{E})] $ 能否显式地用对称积 $ \mathrm{Sym}^m(C) $ 的类表示？
• RQ3 给定 Quot 算子是光滑的，其是否不可约？
• RQ4 Quot 算子 $ \mathrm{Q}^n_C(\mathscr{E}) $ 的庞加莱多项式是什么？它与曲线 $ C $ 的几何有何关系？

主要发现

• 在格罗滕迪克簇环中，$ \mathrm{Q}^n_C(\mathscr{E}) $ 的类与局部自由层 $ \mathscr{E} $ 的选择无关，且满足 $[\mathrm{Q}^n_C(\mathscr{E})] = [\mathrm{Q}^n_C(\mathscr{O}_C^{\oplus r})]$。
• 推导出显式公式：$[\mathrm{Q}^n_C(\mathscr{E})] = \sum_{\mathbf{n} \in \mathbb{N}^r, |\mathbf{n}|=n} [\mathrm{Sym}^{n_1}(C)] \cdots [\mathrm{Sym}^{n_r}(C)] \cdot [\mathbb{A}^1_k]^{d_{\mathbf{n}}} $，其中 $ d_{\mathbf{n}} = \sum_{i=1}^r (i-1)n_i $。
• Quot 算子 $ \mathrm{Q}^n_C(\mathscr{E}) $ 是不可约的，因为其庞加莱多项式中 $ t^0 $ 项的系数为 1，且仅当 $ \mathbf{n} = (n,0,\dots,0) $ 时取得。
• Quot 算子 $ \mathrm{Q}^n_C(\mathscr{E}) $ 的庞加莱级数为 $ \prod_{i=0}^{r-1} \frac{(1 + t^{2i+1}u)^{2g}}{(1 - t^{2i}u)(1 - t^{2i+2}u)} $，其中 $ g $ 是曲线 $ C $ 的亏格。
• 态射 $ \sigma: \mathrm{Q}^n_C(\mathscr{E}) \to \mathrm{Sym}^n(C) $ 的纤维同构于秩 $ r $ 的商层的旗簇，且这些纤维仅依赖于 $ r $，而不依赖于 $ \mathscr{E} $。
• Quot 算子的同构类型在 $ \mathscr{E} $ 与线丛张量后保持不变，但该算子本身仅当 $ r=1 $ 时才同构于 $ \mathrm{Q}^n_C(\mathscr{O}_C^{\oplus r}) $。