[论文解读] On the motives of moduli of chains and Higgs bundles

Oscar Garcı́a-Prada, Jochen Heinloth+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 2

一句话总结

本文通过格罗滕迪克代数系的维数完备化，利用哈勒-拉拉辛汉分层和动机递归，计算了希格斯丛与链的动机。证明了当秩与次数互素时，雅可比簇的n阶挠子群在扭SLn-希格斯丛的中间维上同调上作用平凡；并为奇次数的秩4希格斯丛给出了明确的动机公式，验证了豪泽尔与罗德里格斯-维利加斯对亏格≤21的猜想。

ABSTRACT

We take another approach to Hitchin's strategy of computing the cohomology of moduli spaces of Higgs bundles by localization with respect to the circle-action. Our computation is done in the dimensional completion of the Grothendieck ring of varieties and starts by describing the classes of moduli stacks of chains rather than their coarse moduli spaces. As an application we show that the n-torsion of the Jacobian acts trivially on the middle dimensional cohomology of the moduli space of twisted SL_n-Higgs-bundles of degree coprime to n and we give an explicit formula for the motive of the moduli space of Higgs bundles of rank 4 and odd degree. This provides new evidence for a conjecture of Hausel and Rodr\'iguez-Villegas. Along the way we find explicit recursion formulas for the motives of several types of moduli spaces of stable chains.

研究动机与目标

• 在格罗滕迪克代数系的维数完备化中计算希格斯丛与链模空间的动机。
• 通过动机方法为不同上同调理论中的上同调不变量提供统一的计算框架。
• 通过引入秩(2,2)链的截断程序，解决动机分层中的收敛性问题。
• 通过显式动机计算验证豪泽尔与罗德里格斯-维利加斯关于奇次数秩4希格斯丛的庞加莱多项式猜想。
• 建立α-半稳定的链的动机递归公式，实现希格斯丛动机的递归计算。

提出的方法

• 使用格罗滕迪克代数系的维数完备化bK0(Var)在不同上同调理论中统一计算动机。
• 采用两步策略：首先计算所有链堆栈的动机，然后利用哈勒-拉拉辛汉分层将其分解为纤维化在低秩半稳定链模空间上的分层。
• 使用动机工具描述向量丛的扩张与修改，显式刻画分层的组成部分。
• 利用贝热与迪隆的结果，将链堆栈的动机表示为向量丛模空间堆栈的动机。
• 引入截断程序，克服在计算秩(2,2)链动机时bK0(Var)中非收敛级数的问题。
• 在Maple中实现递归公式，验证了亏格≤21时奇次数秩4希格斯丛的庞加莱多项式。

实验结果

研究问题

• RQ1 当秩与次数互素时，雅可比簇的n阶挠子群是否在扭SLn-希格斯丛的中间维上同调上作用平凡？
• RQ2 能否为奇次数秩4半稳定希格斯丛模空间导出明确的动机公式？
• RQ3 如何构建并应用α-半稳定链的动机递归公式于希格斯丛模空间？
• RQ4 能否通过秩(2,2)链的截断方法克服动机分层中的收敛性问题？
• RQ5 计算出的奇次数秩4希格斯丛动机是否验证了豪泽尔与罗德里格斯-维利加斯的庞加莱多项式猜想？

主要发现

• 当n与d互素时，雅可比簇的n阶挠子群在扭SLn-希格斯丛模空间的中间维上同调上作用平凡。
• 导出了奇次数秩4半稳定希格斯丛模空间动机的显式公式，其表达为低秩链模空间的动机类与曲线类的组合。
• 该公式经Maple实现验证，确认了豪泽尔与罗德里格斯-维利加斯对亏格≤21的庞加莱多项式猜想。
• 截断程序成功克服了bK0(Var)中的收敛性问题，使得秩(2,2)链的动机得以计算，而此前方法未能实现。
• 建立了包括(3,1)、(2,2)、(1,2,1)与(2,1,1)秩型在内的各种α-半稳定链动机的递归公式。
• 动机计算可直接提取霍奇多项式与庞加莱多项式，证实了秩4希格斯丛的霍奇结构纯性。