[论文解读] On the multipacking number of grid graphs

Laurent Beaudou, Richard C. Brewster|HAL (Le Centre pour la Communication Scientifique Directe)|Mar 26, 2018

Advanced Graph Theory Research被引用 6

一句话总结

该论文证明了在所有高度 ≥ 4、宽度 ≥ 7 的大网格图中，多重打包数等于广播支配数，揭示了图论中超越弦图的对偶性结果。作者通过在网格边界上采用结构化的顶点选择方法，构造了显式的多重打包，但 4×6 网格例外，其多重打包数为 4，广播支配数为 5。

ABSTRACT

In 2001, Erwin introduced broadcast domination in graphs. It is a variant of classical domination where selected vertices may have different domination powers. The minimum cost of a dominating broadcast in a graph $G$ is denoted $γ_b(G)$. The dual of this problem is called multipacking: a multipacking is a set $M$ of vertices such that for any vertex $v$ and any positive integer $r$, the ball of radius $r$ around $v$ contains at most $r$ vertices of $M$ . The maximum size of a multipacking in a graph $G$ is denoted mp(G). Naturally mp(G) $\leq γ_b(G)$. Earlier results by Farber and by Lubiw show that broadcast and multipacking numbers are equal for strongly chordal graphs. In this paper, we show that all large grids (height at least 4 and width at least 7), which are far from being chordal, have their broadcast and multipacking numbers equal.

研究动机与目标

• 确定在何种条件下，非弦图中的多重打包数（mp）等于广播支配数（γb）。
• 将已知的强弦图中 mp 与 γb 相等的结果，推广至更广泛的图类，特别是网格图。
• 解决网格图中多重打包与广播支配之间的对偶间隙问题，尤其针对大尺寸和长条形网格图。
• 通过在网格边界上显式构造多重打包，提供等式的构造性证明。
• 识别并解决 4×6 网格这一特例，其中 mp < γb。

提出的方法

• 通过在网格的顶边和底边边界上以固定间隔（每第三个顶点）选择顶点，构造多重打包。
• 利用网格水平边上的等距路径，通过引理 3 限制任意半径为 r 的球内所选顶点的数量。
• 基于中心的垂直位置及维度奇偶性，对球与顶边和底边路径的交集进行分类讨论。
• 应用上取整函数处理交集大小边界中的舍入问题，确保任意半径为 r 的球内不包含超过 r 个多重打包集合中的顶点。
• 使用 SageMath 对剩余的小规模情况（如 6×6、8×6、12×6）进行计算验证，并确认 4×6 网格是唯一例外。
• 利用已知的广播支配数公式（γb(Pn□Pm) = ⌊n/2⌋ + ⌊m/2⌋）验证所构造多重打包的大小。

实验结果

研究问题

• RQ1 在哪些非弦图中，多重打包数等于广播支配数？
• RQ2 多重打包与广播支配之间的对偶性能否超越强弦图而推广至更广范围？
• RQ3 网格图的何种结构特性使其尽管不具备弦性，仍满足 mp(G) = γb(G)？
• RQ4 是否存在一种系统性构造方法，仅使用边界顶点来构建网格图中的最大多重打包？
• RQ5 在网格图中，是否存在 mp(G) < γb(G) 的例外情况？

主要发现

• 对于所有满足 n ≥ 4 且 m ≥ 7（或 n ≥ 7 且 m ≥ 4）的网格图 Pn□Pm，均有 mp(Pn□Pm) = γb(Pn□Pm)。
• 唯一例外是 4×6 网格，其中 mp(P4□P6) = 4 且 γb(P4□P6) = 5。
• 4×n 网格的多重打包数为 2n/5 的上取整，当 n 为偶数且 n ≥ 4 时成立，但 n = 6 除外。
• 对于 n 为偶数且 n ≥ 8 的 6×n 网格，有 mp(P6□Pn) = n/2 + 3，且该式在 n ≠ 6, 8, 12 时成立。
• 通过在网格边界上使用 (2k′−3)- 或 (2k′−1)- 模式构造多重打包，可确保任意半径为 r 的球内不包含超过 r 个该集合中的顶点。
• 该证明提供了广播支配数公式 γb(Pn□Pm) = ⌊n/2⌋ + ⌊m/2⌋ 的另一种推导方式。