[论文解读] On the multiple holomorph of a finite almost simple group

Cindy Tsang|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2019

Finite Group Theory Research参考文献 16被引用 11

一句话总结

该论文证明了对于任意有限几乎单群 $G$，商群 $\mathrm{NHol}(G)/\mathrm{Hol}(G)$ 的阶为 2，建立了类似于非交换单群的结构刚性。证明依赖于对广群中无不动点自同态和正规子群的分析，从而导出了通过 $\mathrm{End}_{\mathrm{fpf}}(G)$ 计数同构类型的 Hopf-Galois 结构的公式。

ABSTRACT

Let $G$ be a group. Let $\mathrm{Perm}(G)$ denote its symmetric group and write $\mathrm{Hol}(G)$ for the normalizer of the subgroup of left translations in $\mathrm{Perm}(G)$. The multiple holomorph $\mathrm{NHol}(G)$ of $G$ is in turn defined to be the normalizer of $\mathrm{Hol}(G)$ in $\mathrm{Perm}(G)$. In this paper, we shall show that the quotient group $\mathrm{NHol}(G)/\mathrm{Hol}(G)$ has order two when $G$ is finite and almost simple. As an application of our techniques, we shall also develop a method to count the number of Hopf-Galois structures of isomorphic type on a finite almost simple extension in terms of fixed point free endomorphisms.

研究动机与目标

• 确定有限几乎单群 $G$ 的多重广群 $\mathrm{NHol}(G)$ 的结构，扩展已知的单群和阿贝尔群的结果。
• 理解 $\mathcal{H}_2(G)$ 中与 $G$ 同构的 $\mathrm{Hol}(G)$ 的正规子群集合，并以无不动点自同态的形式计算其大小。
• 开发一种方法，利用 $G$ 的自同态结构，对有限几乎单扩张中同构类型的 Hopf-Galois 结构进行计数。
• 将非交换单群中观察到的现象——即 $\mathcal{H}_0(G) = \{\lambda(G), \rho(G)\}$ 且 $T(G) \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$——推广到更广泛的几乎单群类。

提出的方法

• 定义 $\mathrm{NHol}(G) = \mathrm{Norm}_{\mathrm{Perm}(G)}(\mathrm{Hol}(G))$，并分析其在 $\mathcal{H}_0(G)$ 集合上的作用，其中 $\mathcal{H}_0(G)$ 是满足 $\mathrm{Norm}_{\mathrm{Perm}(G)}(N) = \mathrm{Hol}(G)$ 的正规子群 $N \leq \mathrm{Perm}(G)$。
• 利用由双射 $\xi_N: N \to G$ 导出的同构 $\Xi_N: \mathrm{Perm}(N) \to \mathrm{Perm}(G)$，将 $\mathrm{Hol}(N)$ 与 $\mathrm{Norm}_{\mathrm{Perm}(G)}(N)$ 关联起来，从而当 $N \in \mathcal{H}_0(G)$ 时推出 $\mathrm{Hol}(N) \simeq \mathrm{Hol}(G)$。
• 通过满足无不动点条件的对 $(f, h) \in \mathrm{End}(G) \times \mathrm{Aut}(G)$，即对所有 $g \in G$ 有 $f(g)h(g) \neq g$，刻画与 $G$ 同构的 $\mathrm{Hol}(G)$ 的正规子群。
• 建立此类无不动点对与 $\mathrm{Hol}(G)$ 中正规子群之间的双射，从而导出公式 $\#\mathcal{H}_2(G) = 2 \cdot \#\mathrm{End}_{\mathrm{fpf}}(G)$。
• 应用群论工具，包括有限单群分类定理（CFSG），分析当 $[G:\mathrm{Soc}(G)] = p$ 为素数时 $\mathrm{Soc}(G)$ 及其子群的结构。
• 利用引理 5.4，通过在满足 $[G:H] = p$ 的正规子群 $H \trianglelefteq G$ 上求和来计算 $\#\mathrm{End}_{\mathrm{fpf}}(G)$，并根据生成元 $\sigma$ 的阶为 $p$ 且是否属于 $H$ 的情况区分讨论。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于有限几乎单群 $G$，其多重广群 $\mathrm{NHol}(G)$ 的结构是什么？
• RQ2 与 $G$ 同构的 $\mathrm{Hol}(G)$ 的正规子群集合 $\mathcal{H}_2(G)$ 的大小如何与 $G$ 的自同态结构相关？
• RQ3 能否通过无不动点自同态来计算有限几乎单扩张中同构类型的 Hopf-Galois 结构的数量？
• RQ4 对于所有有限几乎单群，商群 $\mathrm{NHol}(G)/\mathrm{Hol}(G)$ 是否都具有阶 2，正如在非交换单群中所见？

主要发现

• 对于任意有限几乎单群 $G$，商群 $\mathrm{NHol}(G)/\mathrm{Hol}(G)$ 的阶为 2，即 $\mathrm{NHol}(G)/\mathrm{Hol}(G) \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$，推广了非交换单群中的已知结果。
• 与 $G$ 同构的 $\mathrm{Hol}(G)$ 的正规子群数量由公式 $\#\mathcal{H}_2(G) = 2 \cdot \#\mathrm{End}_{\mathrm{fpf}}(G)$ 给出，其中 $\mathrm{End}_{\mathrm{fpf}}(G)$ 表示 $G$ 的无不动点自同态集合。
• 当 $\mathrm{Soc}(G)$ 在 $G$ 中的指数 $p$ 为素数时，无不动点自同态的数量为 $\#\mathrm{End}_{\mathrm{fpf}}(G) = \#\{\sigma \in \mathrm{Soc}(G) : |\sigma| = p\} + \frac{p-2}{p-1} \cdot \#\{\sigma \in G \setminus \mathrm{Soc}(G) : |\sigma| = p\}$。
• $\mathcal{H}_0(G)$ 中满足 $\mathrm{Norm}_{\mathrm{Perm}(G)}(N) = \mathrm{Hol}(G)$ 的正规子群 $N \leq \mathrm{Perm}(G)$ 的集合与 $\mathrm{NHol}(G)$ 在 $\mathcal{H}_0(G)$ 上的作用轨道之间存在双射，且该作用是正则的，因此 $T(G) \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$。
• 所开发的方法允许通过 $\mathrm{End}_{\mathrm{fpf}}(G)$ 的基数显式计算有限几乎单扩张中同构类型的 Hopf-Galois 结构数量。
• 即使 $\mathcal{H}_2(G)$ 很大（与单群情况不同），该结果依然成立，表明尽管子群结构复杂，商群 $\mathrm{NHol}(G)/\mathrm{Hol}(G)$ 仍保持较小。