[论文解读] On the multiplicity of reducible relative stable morphisms

Nobuyoshi Takahashi|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文建立了对数卡鲁亚表面中 genus 0 相对格罗莫夫-威滕不变量的可约相对稳定态射贡献的公式。对于两条有理曲线 $C_1$ 和 $C_2$，若它们在同一点 $P$ 处完全相切于光滑反 canonical 除子 $D$，且在该点的横截相交重数为 $\min\{D.C_1, D.C_2\}$，则可约曲线 $C_1 \cup C_2$ 对虚拟计数的贡献恰好为 $\min\{D.C_1, D.C_2\}$，从而解决了相对枚举几何中退化贡献的关键情形。

ABSTRACT

Let $(Z, D)$ be a pair of a smooth surface and a smooth anti-canonical divisor. Denote by $\mathfrak{M}_β$ the moduli stack of genus $0$ relative stable morphisms of class $β$ with full tangency to the boundary. Let $C_1$ and $C_2$ be rational curves fully tangent to $D$ at the same point $P$ and assume that $C_1$ and $C_2$ are immersed and that $(C_1.C_2)_P=\min\{D.C_1, D.C_2\}$. Then we show that the contribution of $C_1\cup C_2$ to the virtual count of $\mathfrak{M}_{[C_1]+[C_2]}$ is $\min\{D.C_1, D.C_2\}$. As an example, we describe genus $0$ relative stable morphisms to $(\mathbb{P}^2, (\hbox{cubic}))$ of degree $4$ with full tangency, and examine how they contribute to the relative Gromov-Witten invariant.

研究动机与目标

• 计算对数卡鲁亚表面中 genus 0 相对格罗莫夫-威滕不变量的可约相对稳定态射的贡献。
• 在模空间的虚拟周期中，解决退化曲线——特别是两条在共同点处对除子完全相切的有理曲线——的重数问题。
• 通过分析可约且非横截的配置，将相对格罗莫夫-威滕不变量的理解从不可约曲线或多重覆盖的情形扩展至更一般情形。
• 为这类可约曲线提供虚拟重数的精确公式，这对于模理论不变量与朴素枚举计数之间的匹配至关重要。

提出的方法

• 本研究聚焦于对对偶 $(Z,D)$ 的 genus 0 相对稳定态射，其中 $Z$ 为光滑曲面，$D$ 为光滑反 canonical 除子。
• 分析了类 $\beta$ 的相对稳定态射的模堆栈 $\mathfrak{M}_\beta$，特别关注可约曲线 $C_1 \cup C_2$ 的情形。
• 关键的技术工具是虚拟局部化技术，用于计算可约曲线对虚拟基本类的贡献。
• 通过条件 $(C_1.C_2)_P = \min\{D.C_1, D.C_2\}$ 确保模空间中贡献的横截性与孤立性。
• 应用 [GPS] 中的多重覆盖公式，并将贡献与相切点处的交重数关联起来。
• 证明依赖于对具有指定相切性与奇点的曲线线性系统进行分析，利用爆破与椭圆纤维丛来消解基点并计算欧拉示性数。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $C_1$ 与 $C_2$ 均为完全相切于 $D$ 的有理曲线且切点为同一点 $P$ 时，相对稳定态射 $f: \mathbb{P}^1 \to Z$ 的像为 $C_1 \cup C_2$，其对 genus 0 相对格罗莫夫-威滕不变量的贡献为何？
• RQ2 交重数 $(C_1.C_2)_P$ 如何影响模空间 $\mathfrak{M}_\beta$ 中此类可约曲线的虚拟重数？
• RQ3 此类可约曲线的贡献能否完全用度数 $D.C_1$ 与 $D.C_2$ 表示？
• RQ4 在何种几何条件下，模空间 $\mathfrak{M}_\beta$ 中对应于 $C_1 \cup C_2$ 的点是孤立的且具有有限重数？
• RQ5 这些贡献与同一模空间中不可约曲线的多重覆盖贡献相比如何？

主要发现

• 在满足完全相切、有理性和在 $P$ 点横截相交的条件下，可约曲线 $C_1 \cup C_2$ 对 $\mathfrak{M}_{[C_1]+[C_2]}$ 中虚拟计数的贡献恰好为 $\min\{D.C_1, D.C_2\}$。
• 在 $({\mathbb{P}}^2, \text{cubic})$ 的情形下，一条直线与一个在拐点处相切的三次曲线的并的贡献为 3，与 $\min\{3,3\}$ 一致。
• 在 $({\mathbb{P}}^2, \text{cubic})$ 上的四次相对不变量情形下，总不变量 $I_4 = \frac{36999}{4}$ 通过不可约曲线与可约配置如 $L \cup C_1$ 的贡献之和得以恢复，其中后者贡献了重数 3。
• 相对稳定态射在点 $P$ 处度数为 4 的模空间 $\tilde{M}_{4,P}$ 的元素个数为 8、14 或 16，具体取决于 $P - P_i$ 的阶，且这些元素在扭点上均匀分布。
• 本文表明，椭圆曲线 $D$ 上的 $3d$-阶扭点具有相同数量的瞬子（即贡献曲线），暗示了对扭结构的贡献分布具有均匀性。
• 对有理曲线 $C$ 的 $d$-重覆盖（其中 $w = D.C$）的贡献由公式 $M_w[d] = \frac{1}{d^2} \binom{d(w-1)-1}{d-1}$ 给出，本文将 $m_w[d]$ 定义为每覆盖的‘瞬子’数量，对小的 $w$ 和 $d$，其为正整数。