[论文解读] On the multivariate Burgers equation and the incompressible Navier-Stokes equation (Part II)

Joerg Kampen|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2012

Navier-Stokes equation solutions参考文献 10被引用 4

一句话总结

该论文通过使用 $L^∞ \times H^2$-估计和简化的控制函数，将多变量Burgers方程的全局数值格式扩展至不可压缩Navier-Stokes方程。通过利用Leray投影形式及基本解的伴随算子来控制 $H^1$ 中的压力梯度，该格式实现了时间步长 $\rho_l \sim 1/l$ 下速度分量的线性增长，从而在不依赖多项式衰减假设的前提下，确保了统一有界性和全局收敛性。

ABSTRACT

We consider global schemes with H2-estimates for the multivariate Burgers equation and the incompressible Navier-Stokes equation in its Leray projection form. We extend the definition of a global scheme and the global L2-theory of the multivariate Burgers equation to the incompressible Navier-Stokes equation, where we consider estimates of the gradient of the pressure in its Leray projection form in H1 at each time step of the scheme. The extended scheme has a simplified control function (simplified compared to [7]), which controls the growth of the Leray projection term. We use the fact that the data in our scheme are in H2 at each time step such that the data for the Poisson equation related to the elimination of pressure are in H1 at each approximation step. The upper bound of the growth of the velocity components is linear with respect to the time.

研究动机与目标

• 将多变量Burgers方程的全局 $L^2$ 理论扩展至Leray投影形式下的不可压缩Navier-Stokes方程。
• 通过时间离散格式建立Navier-Stokes系统中压力梯度的 $H^1$-估计。
• 与先前工作相比，简化控制Leray投影项的控制函数，避免依赖继承的多项式衰减。
• 通过控制时间步长 $\rho_l \sim 1/l$ 下速度分量的增长，确保数值格式的全局收敛性。
• 提供一种构造性且数值可行的格式，对线性化方程的一阶系数保持统一有界性。

提出的方法

• 使用时间步长 $\rho_l \sim 1/l$ 的时间离散全局格式，以确保全局存在性和统一有界性。
• 应用抛物型方程变系数情形下非卷积表示的基解伴随算子。
• 通过Leray投影形式中的 $H^1$-估计控制压力梯度项，确保 $H^2$-范数有界性。
• 采用简化控制函数，避免先前工作中使用的复杂动态控制机制。
• 利用每步时间下数据的 $H^2$-正则性，确保压力消除中Poisson方程数据的 $H^1$-正则性。
• 在时间步长内建立速度分量在 $H^m$-范数下的线性增长，从而对系数实现统一有界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过 $L^\infty \times H^2$-估计，将多变量Burgers方程的全局数值格式扩展至不可压缩Navier-Stokes方程？
• RQ2 在Leray投影形式下，如何在每个时间步长中控制压力梯度项在 $H^1$-范数下的行为？
• RQ3 确保全局收敛性并保持线性化系数统一有界性时，最小时间步长 $\rho_l$ 是多少？
• RQ4 与先前的动态控制方案相比，能否在不损失全局稳定性的情况下简化控制函数？
• RQ5 在不假设高阶导数继承多项式衰减的前提下，该格式是否仍保持全局收敛性？

主要发现

• 该格式在时间步长 $\rho_l \sim 1/l$ 下实现了速度分量在 $H^m$-范数下的线性增长，从而确保了全局存在性。
• 简化控制函数有效界定了Leray投影项，且无需依赖多项式衰减假设。
• 建立了线性化方程一阶系数的统一有界性，满足对所有 $l \geq 1$ 和 $\alpha \in (0,1)$ 有 $|v^{\rho,l-1}(l-1,\cdot)|_{\alpha} \leq C$。
• 由于校正项 $\delta v^{\rho,k,l}_i$ 在时间和空间上具有统一的Hölder连续性，该格式实现了全局收敛。
• 时间步长 $\rho_l \sim 1/l$ 是在确保线性化系统系数统一有界性的前提下实现全局收敛的最小值。
• 该方法为Navier-Stokes方程经典全局 $L^2$-存在性结果提供了另一种证明。