[论文解读] On the natural gradient for variational quantum eigensolver

Naoki Yamamoto|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 12被引用 44

一句话总结

本文分析基于量子几何度量的自然梯度优化如何在简单的案例研究中改进 VQE 参数更新，相对于普通梯度和 ITE，突出什么时候有帮助或有害。

ABSTRACT

The variational quantum eigensolver is a hybrid algorithm composed of quantum state driving and classical parameter optimization, for finding the ground state of a given Hamiltonian. The natural gradient method is an optimization method taking into account the geometric structure of the parameter space. Very recently, Stokes et al. developed the general method for employing the natural gradient for the variational quantum eigensolver. This paper gives some simple case-studies of this optimization method, to see in detail how the natural gradient optimizer makes use of the geometric property to change and improve the ordinary gradient method.

研究动机与目标

• 通过考虑参数空间的几何结构，推动在 VQE 中使用自然梯度。
• 说明 Fubini-Study 量子度量如何影响 VQE 的优化轨迹。
• 将自然梯度与基于虚拟时间进化的更新与普通梯度在简单的 VQE 示例中进行比较。
• 确定在自然梯度提供更快收敛的情景以及由于奇点可能面临的挑战。

提出的方法

• 用量子费舍信息/ Fubini-Study 度量 F 定义自然梯度更新，并写成 theta_{k+1} = theta_k - eta_k F(theta)^{-1} ∂f/∂theta。
• 将自然梯度与虚时间演化（ITE）联系起来，并通过矩阵不等式 A >= F 和 F <= A 来讨论它们的关系。
• 对简单的一量子比特和两量子比特的硬件高效参数化 Ansatz 显式计算 F，并分析 det(F)=0 的奇点。
• 使用两个案例研究（单量子比特的 H = σ_x 和 H2 分子具有 2-量子比特的哈密顿量）来比较梯度方法和 ITE 的轨迹。
• 讨论实际注意事项，如为 F 添加一个小的对角项以处理接近奇点的情况。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子几何学基础的自然梯度在 VQE 的优化轨迹中相较于普通梯度方法有何影响？
• RQ2 在哪些 VQE 设置（态、哈密顿量、 Ansatz 结构）下自然梯度提供更快的收敛或遇到有问题的奇点？
• RQ3 在 VQE 情境中，自然梯度与虚时间演化之间的关系如何，何时它们是等价或不同？
• RQ4 奇点（det(F)=0) 在自然梯度在 VQE 中的有效性中起什么作用？
• RQ5 基于经典费舍信息的方法（对概率的费舍度量）是否可以有效用于 VQE 优化？

主要发现

• 自然梯度利用量子态空间的几何来引导参数更新，在所研究的情形中比普通梯度更快收敛。
• 在单量子比特示例中，自然梯度和 ITE 通过沿着围绕奇点的度量信息轨迹更快收敛到基态。
• 在 H2 两量子比特的硬件高效 Ansatz 中，ITE 等于自然梯度，因为状态为实数且 ⟨∂iφ|φ⟩=0，奇点与可分离态和纠缠熵 S(|φ⟩)=0 当 det(F)=0 时相关。
• 能量景观可能包含 F 变得条件数差的奇点区域；对 F 进行小的正则化可以防止大而不稳定的参数跳跃。
• 当目标态接近奇点时（例如 toy 情况中的可分离态），自然梯度的效果可能较差，提示应用前需要对目标态进行仔细的度量分析。