[论文解读] On the Navier-Stokes equation perturbed by rough transport noise

Martina Hofmanová, James-Michael Leahy+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2017

Stability and Controllability of Differential Equations被引用 2

一句话总结

本文利用无界粗糙驱动器理论，建立了带粗糙输运噪声的二维和三维纳维-斯托克斯方程弱解的存在性，并在二维情况下证明了唯一性和稳定性。通过在粗糙路径框架内提出一种路径无关的解的概念，作者导出了先验估计，并利用变分法证明了适定性，将基于能量的分析方法扩展至非线性或标量以外的粗糙PDE情形。

ABSTRACT

We consider the Navier-Stokes system in two and three space dimensions perturbed by transport noise and subject to periodic boundary conditions. The noise arises from perturbing the advecting velocity field by space-time dependent noise that is smooth in space and rough in time. We study the system within the framework of rough path theory and, in particular, the recently developed theory of unbounded rough drivers. We introduce an intrinsic notion of a weak solution of the Navier-Stokes system, establish suitable a priori estimates and prove existence. In two dimensions, we prove that the solution is unique and stable with respect to the driving noise.

研究动机与目标

• 建立一个路径无关的确定性框架，利用粗糙路径理论求解受粗糙输运噪声扰动的纳维-斯托克斯方程。
• 将变分法和能量估计方法扩展至粗糙PDE，特别是纳维-斯托克斯系统，其中经典随机分析不足以适用。
• 为粗糙PDE定义一种内在的弱解概念，当噪声在时间上光滑时，该定义退化为经典定义。
• 在周期边界条件下，对有限p-变差噪声，证明二维和三维情形下解的存在性。
• 在二维情况下，针对驱动噪声路径建立解的唯一性和稳定性。

提出的方法

• 将带粗糙输运噪声的纳维-斯托克斯系统表述为由时间上具有有限p-变差（p ∈ [2, 3)）的粗糙路径驱动的粗糙PDE。
• 应用无界粗糙驱动器理论，定义一种路径无关的解概念，该概念推广了经典弱解。
• 利用粗糙格朗沃尔引理和基于无界粗糙驱动器框架导出的能量估计，控制解的增长。
• 在索伯列夫空间中实施变分法，通过先验界和紧致性论证构造解。
• 利用搓揉引理和迭代积分，在分布意义下定义粗糙噪声项的时间积分。
• 建立解空间在霍尔德空间和弱连续空间中的紧嵌入，以提取收敛子序列。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用确定性的、路径无关的方法求解受粗糙输运噪声扰动的纳维-斯托克斯系统？
• RQ2 无界粗糙驱动器理论是否允许在粗糙PDE设定下推导出能量估计并证明弱解的存在性？
• RQ3 在二维情况下，受粗糙输运噪声影响时，解是否唯一且稳定？
• RQ4 当解和噪声的正则性较低时，如何严格定义粗糙噪声项的时间积分？
• RQ5 变分法能否被扩展至非线性或标量方程以外的粗糙PDE？

主要发现

• 本文基于无界粗糙驱动器的路径无关解概念，建立了带粗糙输运噪声的二维和三维纳维-斯托克斯方程弱解的存在性。
• 在二维情况下，证明了解关于驱动噪声路径的唯一性和稳定性，将经典结果推广至粗糙路径设定。
• 作者提出了一种新的内在弱解概念，当噪声在时间上光滑时，该概念与经典定义一致。
• 利用粗糙格朗沃尔引理和适配于粗糙路径框架的能量方法，导出了先验估计。
• 解空间在 C_T H^{-1} 和 L^2_T H^0_w 中具有紧嵌入，使得可通过广义阿泽拉-阿斯科利论证提取收敛子序列。
• 时间积分 ∫₀ᵗ (ȧ_s · ∇)u_s ds 通过迭代积分和搓揉引理在分布意义下被严格定义，克服了当 p ∈ [2,3) 时杨定理失效的问题。