[论文解读] On the (non)existence of symplectic resolutions for imprimitive symplectic reflection groups

Gwyn Bellamy, Travis Schedler|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用 4

一句话总结

该论文对商奇点 $\mathbb{C}^{2n}/G$ 的辛形式解耦进行了分类，其中 $G$ 是辛不可约且非本原的辛反射群，证明此类解耦仅在 $G \cong K \wr S_n$ 且 $K < \mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$ 或例外群 $Q_8 \times_{\mathbb{Z}/2} D_8$ 时存在，除维度不超过10的四个未解情况外。该结果完成了对辛不可约辛商奇点存在投影辛解耦的分类，仅剩四个开放情况。

ABSTRACT

We study the existence of symplectic resolutions of quotient singularities V/G where V is a symplectic vector space and G acts symplectically. Namely, we classify the symplectically irreducible and imprimitive groups, excluding those of the form $K times S_2$ where $K &lt; \SL_2(\C)$, for which the corresponding quotient singularity admits a projective symplectic resolution. As a consequence, for $\dim V eq 4$, we classify all quotient singularities $V/G$ admitting a projective symplectic resolution which do not decompose as a product of smaller-dimensional quotient singularities, except for at most four explicit singularities, that occur in dimensions at most 10, for whom the question of existence remains open.

研究动机与目标

• 对所有满足 $\mathbb{C}^{2n}/G$ 允许投影辛解耦的辛不可约且非本原的辛反射群 $G < \mathrm{Sp}_{2n}(\mathbb{C})$ 进行分类。
• 在维度 $\neq 4$ 的情况下解决辛解耦存在的问题，排除四个例外情况。
• 将辛商奇点存在辛解耦的分类扩展至已知的无限族和两个例外情况之外。
• 识别并隔离剩余的开放情况，即辛解耦存在性仍不确定的情况。

提出的方法

• 利用文献 [7] 中对辛不可约且非本原的辛反射群的分类，这些群是 $K \wr S_n$ 的子群，其中 $K < \mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$。
• 应用如下准则：若 $\mathbb{C}^{2n}/G$ 允许投影辛解耦，则其在辛反射 $g \in G$ 的 $\mathrm{im}(g - \mathrm{id})$ 上的通用向量的稳定子群 $H$ 的商空间 $\mathbb{C}^{2n-2}/H$ 也必须允许投影辛解耦，依据 [13, 定理 1.6]。
• 分析文献 [7, 表 III] 中列出的例外群中辛反射的稳定子子群，将问题简化为低维情形。
• 利用维度4中辛解耦不存在的已知结果——具体而言，$\mathbb{C}^4/H$ 对于 $H = G(\mathsf{C}_4, \mathsf{C}_2, 1)$ 或 $H = G_3(\mathsf{D}_2, \mathsf{C}_2)$ 不允许解耦——以排除整个群族。
• 利用如下事实：若稳定子子群 $H$ 不允许解耦，则原群 $G$ 也不可能允许解耦，从而减少需检查的情况数量。
• 利用复反射群及其稳定子的分类，通过 [2] 和 [3] 中的已知结果，排除类型 $Q$、$S_3$ 和 $T$ 的解耦。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于辛不可约且非本原的辛反射群 $G < \mathrm{Sp}_{2n}(\mathbb{C})$，$\mathbb{C}^{2n}/G$ 何时允许投影辛解耦？
• RQ2 在维度6、8、8和10中剩余的四个例外群（类型 $R$、$S_1$、$S_2$ 和 $U$）是否允许投影辛解耦？
• RQ3 在维度4中，$K \rtimes S_2$（$K < \mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$）是否允许投影辛解耦，尽管其被主定理排除？
• RQ4 对于 $\mathrm{Sp}_4(\mathbb{C})$ 中的辛本原且复非本原的群，$\mathbb{C}^4/G$ 是否允许辛解耦？
• RQ5 文献 [7, 表 III] 中列出的有限个本原例外辛反射群是否允许辛解耦？

主要发现

• 唯一允许 $\mathbb{C}^{2n}/G$ 存在投影辛解耦的辛不可约且非本原的辛反射群 $G < \mathrm{Sp}_{2n}(\mathbb{C})$ 是 $G \cong K \wr S_n$（其中 $K < \mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$）或 $G \cong Q_8 \times_{\mathbb{Z}/2} D_8$，在所述排除条件下成立。
• 对于 $\dim V \neq 4$，所有允许投影辛解耦的辛不可约商奇点 $V/G$ 同构于 $\mathbb{C}^{2n}/(K \wr S_n)$，其中 $K < \mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$ 为有限子群，除维度不超过10的四个未解情况外。
• 四个未解情况分别为维度6、8、8和10的类型 $R$、$S_1$、$S_2$ 和 $U$，是除已知族外唯一可能存在的辛解耦候选。
• 稳定子子群分析排除了类型 $Q$、$S_3$ 和 $T$ 的辛解耦，因为它们的稳定子导致维度4中已知不可解耦的奇点。
• $\mathbb{C}^4/G$（$G = K \rtimes S_2$）的辛解耦存在性仍为开放问题，是关键未解情况。
• 本文将所有辛反射群存在辛解耦的分类问题简化为检查 [7, 表 III] 中至多十个群，其余均被稳定子论证排除。