[论文解读] On the nonlinear dynamics of a position-dependent mass-driven Duffing-type oscillator: Lagrange and Newton equations' equivalence

Omar Mustafa|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2013

Mechanical and Optical Resonators参考文献 16被引用 10

一句话总结

本文通过适当的可逆坐标变换，证明了欧拉-拉格朗日方程与牛顿方程在位置依赖质量（PDM）系统中的等价性，解决了此前存在的不一致性。引入了一种新型PDM反作用力 $ R_{\text{PDM}} $，证明了总机械能守恒（$ dE/dt = 0 $），纠正了Bagchi等人先前关于能量不守恒的错误结论。

ABSTRACT

Using a generalized coordinate along with a proper invertible coordinate transformation, we show that the Euler-Lagrange equation used by Bagchi et al. 16 is in clear violation of the Hamilton's principle. We also show that Newton's equation of motion they have used is not in a form that satisfies the dynamics of position-dependent mass (PDM) settings.. The equivalence between Euler-Lagrange's and Newton's equations is now proved and documented through the proper invertible coordinate transformation and the introduction of a new PDM byproducted reaction-type force. The total mechanical energy for the PDM is shown to be conservative (i.e., dE/dt=0, unlike Bagchi et al.'s 16 observation).

研究动机与目标

• 纠正Bagchi等人先前报告的PDM系统中欧拉-拉格朗日方程与牛顿方程之间的不一致性。
• 证明Bagchi等人所用的拉格朗日形式化方法因推导不当，违反了哈密顿原理。
• 确立PDM系统中牛顿运动方程必须包含一种反作用力，以与拉格朗日方法保持一致。
• 证明总机械能 $ E = T + V $ 在PDM系统中守恒，与早期研究的非守恒结论相反。
• 澄清PDM系统中守恒量为拟线性动量 $ \Pi = \sqrt{m(x)}\dot{x} $，而非标准线性动量 $ p = m(x)\dot{x} $。

提出的方法

• 应用可逆坐标变换 $ q(x) = \int \sqrt{f(u)}\,du $，将广义坐标 $ q $ 中的自由粒子系统映射到坐标 $ x $，保持欧拉-拉格朗日方程的形式不变。
• 推导出变换后的拉格朗日量 $ L(x, \dot{x}) = \frac{1}{2} m(x) \dot{x}^2 $，其中 $ m(x) = f(x) $，从而在无外力情况下得到正确的欧拉-拉格朗日方程 $ m(x)\ddot{x} + \frac{1}{2}m'(x)\dot{x}^2 = 0 $。
• 引入一种新型PDM衍生的反作用力 $ R_{\text{PDM}}(x, \dot{x}) = \frac{1}{2}m'(x)\dot{x}^2 $，以恢复PDM系统中牛顿第二定律。
• 验证牛顿方程与反作用力满足 $ m(x)\ddot{x} + m'(x)\dot{x}^2 = R_{\text{PDM}} $ 时，可约化为欧拉-拉格朗日方程，从而证明二者等价。
• 将形式化方法推广至包含外势 $ V(x) $ 的情形，得到完整方程 $ m(x)\ddot{x} + \frac{1}{2}m'(x)\dot{x}^2 + \frac{\partial V}{\partial x} = 0 $，与经典力学一致。
• 计算总能量 $ E = \frac{1}{2}m(x)\dot{x}^2 + V(x) $ 的时间导数，证明 $ dE/dt = 0 $，确认能量守恒。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何Bagchi等人所用的拉格朗日形式化方法在PDM系统中违反哈密顿原理？
• RQ2 如何修正PDM粒子的牛顿运动方程，使其与欧拉-拉格朗日方程保持一致？
• RQ3 PDM系统中正确的守恒量是线性动量还是拟线性动量？
• RQ4 PDM系统中的总机械能是否守恒，与先前文献中的非守恒论断相反？
• RQ5 PDM衍生的反作用力 $ R_{\text{PDM}} $ 在恢复拉格朗日力学与牛顿力学之间的一致性中起什么作用？

主要发现

• Bagchi等人所用的拉格朗日形式化方法违反哈密顿原理，因其未尊重欧拉-拉格朗日方程在恰当变换下的坐标不变性。
• 牛顿方程 $ m(x)\ddot{x} + m'(x)\dot{x}^2 = 0 $ 不适用于PDM系统，因其假设 $ dp/dt = 0 $，与变质量系统的动力学相矛盾。
• PDM系统中正确的守恒量是拟线性动量 $ \Pi = \sqrt{m(x)}\dot{x} $，而非标准线性动量 $ p = m(x)\dot{x} $。
• 引入反作用力 $ R_{\text{PDM}}(x, \dot{x}) = \frac{1}{2}m'(x)\dot{x}^2 $ 后，牛顿方程与欧拉-拉格朗日方程重新建立等价性。
• 总机械能 $ E = \frac{1}{2}m(x)\dot{x}^2 + V(x) $ 守恒，且 $ dE/dt = 0 $，与Bagchi等人关于能量不守恒的论断相矛盾。
• 杜芬型PDM振子的修正运动方程为 $ m(x)\ddot{x} - m(x)^2 \xi x \dot{x}^2 + m(x)^2 \omega_0^2 x + \lambda x^3 + \alpha \dot{x} = f \cos \omega t $，当 $ \xi = 0 $ 时，退化为标准的阻尼受驱杜芬振子方程。