[论文解读] On the Nonrelativistic Quantum-Mechanical Hamiltonian with $1/c^2$ terms. Transverse current-current interaction

L. Bányai|arXiv (Cornell University)|May 7, 2019

Quantum and electron transport phenomena被引用 4

一句话总结

本文通过在库仑规范下使用朗道-利夫希茨形式化方法，将标准的仅含库仑作用的哈密顿量扩展，推导出一个包含 $1/c^2$ 阶横向电流-电流相互作用的非相对论性量子力学哈密顿量。它证明了该哈密顿量的量子化版本在无光子子空间中等价于非相对论性量子电动力学在 $1/c^2$ 阶的近似，并且关键地实现了对外部磁场与内部磁场的物理解释区分——这对理解超导体中的迈斯纳效应至关重要。

ABSTRACT

We extend the standard solid-state quantum mechanical Hamiltonian containing only Coulomb interactions between the charged particles by inclusion of $1/c^2$ terms representing (transverse) current-current interaction. For its derivation we use the classical formulation of Landau-Lifshitz, however consequently in the Coulomb gauge. Our Hamiltonian does not coincide with the Darwin Hamiltonian and we emphasize the mathematical inconsistency in its derivation. We show, that the quantized version of our Hamiltonian is equivalent to the non-relativistic QED considering only states without photons and retaining only terms of order $1/c^2$. The importance of this extended Hamiltonian lies in the possibility to distinguish external from internal magnetic fields. This aspect may be relevant for theories of the Meissner effect.

研究动机与目标

• 推导一个一致的 $1/c^2$ 修正哈密顿量，用于非相对论性量子系统，包含横向电流-电流相互作用，避免戴尔曼哈密顿量在推导中的数学不一致性。
• 通过使用库仑规范，解决规范选择的模糊性，该规范仅保留电磁场的两个物理横向自由度。
• 建立所推导的经典与量子哈密顿量与无光子子空间中非相对论性 QED 的 $1/c^2$ 近似的直接等价性。
• 实现对外部磁场与内部磁场的物理解释区分，这对理解超导体中迈斯纳效应的微观机制至关重要。

提出的方法

• 采用朗道-利夫希茨的经典方法推导 $1/c^2$ 阶哈密顿量，但将其应用于库仑规范而非朗道-利夫希茨所用的规范，以确保仅保留物理自由度。
• 利用库仑规范条件 $\nabla \vec{A}^{\text{ext}} = 0$，将外部矢势用横向电流密度表示，避免纵向分量。
• 推导至 $1/c^2$ 阶的经典哈密顿量，得到一个类似于库仑密度-密度相互作用的横向电流-电流相互作用项。
• 对所推导的经典哈密顿量进行量子化，并证明其二阶 S 矩阵矩阵元与非相对论性 QED 在 $1/c^2$ 阶下的结果一致，其中光子传播子被截断为 $1/q^2$ 形式。
• 通过费曼图分析确认，电流-电流相互作用源于电子通过虚光子的二阶散射过程，哈密顿量中 $-1/2$ 的因子确保了归一化正确。
• 证明所得到的哈密顿量能正确描述在必须区分外部与内部磁场的系统中的磁响应，例如在超导体中。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何常用于 $1/c^2$ 修正的戴尔曼哈密顿量在推导中存在物理不一致性？如何构建一个更严格的替代方案？
• RQ2 如何在库仑规范下一致地推导带电粒子间 $1/c^2$ 阶电磁相互作用，以仅保留电磁场的两个横向自由度？
• RQ3 所推导哈密顿量的量子化版本在无光子情况下，能在多大程度上重现非相对论性 QED 的 $1/c^2$ 极限？
• RQ4 所扩展的哈密顿量能否区分外部与内部磁场？为何这种区分对迈斯纳效应的理论至关重要？
• RQ5 横向电流-电流相互作用在实现对超导体中理想抗磁性的微观描述中起什么作用？

主要发现

• 所推导的经典哈密顿量包含一个 $1/c^2$ 阶的横向电流-电流相互作用项，该形式在库仑规范下数学上一致且规范不变。
• 当限制在无光子子空间时，该哈密顿量的量子化版本与非相对论性 QED 的 $1/c^2$ 近似完全等价。
• 电流-电流相互作用源于电子通过虚光子的二阶散射过程，其中光子传播子在动量空间中近似为 $1/q^2$。
• 哈密顿量中电流-电流相互作用项前的 $-1/2$ 因子确保了与 QED S 矩阵的一致性，校正了微扰展开中的重复计数。
• 该哈密顿量能够实现对外部磁场与内部磁场的清晰物理解释区分，这是标准仅含库仑作用模型所不具备的特性。
• 该扩展框架为理解迈斯纳效应提供了更基础的理论依据，因为它使内部磁场能够动态抵消外部磁场，而无需依赖自洽场近似。