[论文解读] On the notion of flat 2-functors

María Emilia Descotte, Eduardo J. Dubuc+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 1

一句话总结

本文引入了 $σ$-极限和 $σ$-双极限，作为 2-范畴论中在严格极限与伪极限之间进行插值的统一框架。它证明了任意加权 $σ$-极限均可表示为锥形极限，从而将伪函子的平坦性表征为表示性 2-函子的 $σ$-过滤 $σ$-双colimit——这为经典双端点公式提供了 2-范畴类比，并推进了 2-拓扑斯理论的发展。

ABSTRACT

In this paper we introduce sigma limits (which we write $\sigma$-limits), a concept that interpolates between lax and pseudolimits: for a fixed family $\Sigma$ of arrows of a 2-category $\mathcal{A}$, a $\sigma$-cone for a $2$-functor $\mathcal{A} \stackrel{F}{ ightarrow} \mathcal{B}$ is a lax cone such that the structural 2-cells corresponding to the arrows of $\Sigma$ are invertible. The conical $\sigma$-limit of $F$ is the universal $\sigma$-cone. Similary we define $\sigma$-natural transformations and weighted $\sigma$-limits. We consider also the case of bilimits. We develop the theory of $\sigma$-limits and $\sigma$-bilimits, whose importance relies on the following key fact: any weighted $\sigma$-limit (or $\sigma$-bilimit) can be expressed as a conical one. From this we obtain, in particular, a canonical expression of an arbitrary $\mathcal{C}at$-valued 2-functor as a conical $\sigma$-bicolimit of representable 2-functors, for a suitable choice of $\Sigma$, which is equivalent to the well known bicoend formula. As an application, we establish the 2-dimensional theory of flat pseudofunctors. We define a $\mathcal{C}at$-valued pseudofunctor to be flat when its left bi-Kan extension along the Yoneda 2-functor preserves finite weighted bilimits. We introduce a notion of 2-filteredness of a 2-category with respect to a class $\Sigma$, which we call $\sigma$-filtered. Our main result is: A pseudofunctor $\mathcal{A} ightarrow \mathcal{C}at$ is flat if and only if it is a $\sigma$-filtered $\sigma$-bicolimit of representable 2-functors. In particular the reader will notice the relevance of this result for the development of a theory of 2-topoi.

研究动机与目标

• 开发一种在 2-范畴中统一极限的框架，使其在严格极限与伪极限之间插值。
• 通过一个固定的箭头族 $Σ$（其结构 2-胞状是可逆的）来定义 $σ$-极限和 $σ$-双极限。
• 证明加权 $σ$-极限与 $σ$-双极限可约约为锥形极限，从而简化其研究。
• 以 $σ$-过滤的 $σ$-双colimit 表征表示性 2-函子的方式，刻画平坦伪函子。
• 通过新的 2-过滤性概念（$σ$-过滤性）为 2-拓扑斯理论提供 2-范畴基础。

提出的方法

• 将 $σ$-锥定义为：在 $Σ$ 中的箭头处，其结构 2-胞状可逆的严格锥。
• 在该背景下，将锥形 $σ$-极限与 $σ$-自然变换定义为普遍对象。
• 发展加权 $σ$-极限与 $σ$-双极限的理论，证明其可约约为锥形 $σ$-极限。
• 引入 $σ$-过滤性作为过滤性在 2-范畴中的推广，其参数为 $Σ$。
• 利用加权极限向锥形 $σ$-极限的约化，将任意 $Γ$-值 2-函子表示为表示性 2-函子的锥形 $σ$-双colimit。
• 将其应用于通过在 Yoneda 沿向上左双 Kan 扩张下保持有限加权双极限来定义平坦伪函子。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用参数化的箭头类，在 2-范畴论中统一严格极限与伪极限？
• RQ2 加权 $σ$-极限能否约化为锥形 $σ$-极限？这对表示性有何影响？
• RQ3 刻画平坦伪函子的正确 2-范畴类比的过滤性是什么？
• RQ4 $Γ$-值 2-函子的 $σ$-双colimit 分解如何与经典双端点公式关联？
• RQ5 $σ$-过滤性在刻画 2-拓扑斯理论中平坦性的角色是什么？

主要发现

• 任意加权 $σ$-极限或 $σ$-双极限同构于锥形 $σ$-极限，从而简化其分析与构造。
• 每个 $Γ$-值 2-函子在适当的 $Σ$ 下，均可通过表示性 2-函子的锥形 $σ$-双colimit 以自然方式呈现，从而恢复双端点公式。
• 一个伪函子 $\mathcal{A} \to \mathcal{C}at$ 是平坦的，当且仅当它是表示性 2-函子的 $σ$-过滤 $σ$-双colimit。
• $σ$-过滤性以一种捕捉 2-范畴中平坦性本质性质的方式，推广了过滤性。
• 该理论为平坦伪函子提供了新的、内在的刻画方式，与并扩展了经典 2-拓扑斯理论中的结果。