[论文解读] On the Notions of Rudimentarity, Primitive Recursivity and Representability of Functions and Relations

Saeed Salehi|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2019

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 9被引用 2

一句话总结

本文提供了一种新的、初等的证明，表明并非所有原始递归关系都是基本的（即，不能由有界公式定义），纠正了文献中常见的误解。此外，本文还建立了在足够强的算术理论中弱表示与强表示之间的等价性，给出了一个新证明，澄清了可计算性与形式算术中表示性之间的基础问题。

ABSTRACT

It is quite well-known from Kurt Godel's (1931) ground-breaking result on the Incompleteness Theorem that rudimentary relations (i.e., those definable by bounded formulae) are primitive recursive, and that primitive recursive functions are representable in sufficiently strong arithmetical theories. It is also known, though perhaps not as well-known as the former one, that some primitive recursive relations are not rudimentary. We present a simple and elementary proof of this fact in the first part of the paper. In the second part, we review some possible notions of representability of functions studied in the literature, and give a new proof of the equivalence of the weak representability with the (strong) representability of functions in sufficiently strong arithmetical theories. Our results shed some new light on the notions of rudimentary, primitive recursive, and representable functions and relations, and clarify, hopefully, some misunderstandings and confusing errors in the literature.

研究动机与目标

• 通过提供一个简单的反例，纠正广泛存在的误解，即所有原始递归关系都是基本的（即，∆0-可定义的）
• 澄清形式算术中基本、原始递归与可表示函数及关系之间的关系
• 为足够强的算术理论中函数的弱表示与强表示之间的等价性提供一个新的证明
• 解决文献中长期存在的关于形式系统中函数的可表示性与可证明总定义性的模糊与错误

提出的方法

• 基于有界公式层次结构不坍缩的对角化论证，构造一个无法由有界（∆0）公式定义的特定原始递归关系
• 引入一个新的公式 ψ(x, y)，通过在证明编码上进行有界量词限定来捕捉函数 f，确保在理论中具有唯一性与正确性
• 使用有界可证明性谓词 ̺(z, x) = ∃u ≤ z ProofT(u, x) 在理论 T 内模拟证明的存在性
• 利用理论 T 的公理条件 (a)–(e)，确保在有界量词与不等式下证明编码的行为正确
• 通过 ∃!u θ(x, u) 的函数值唯一性，定义一个规范输出关系 η(x, y)，以确保函数的完全性
• 利用罗宾逊算术 Q 的性质，该理论满足所有所需条件 (a)–(e)，以证明该证明的普遍适用性

实验结果

研究问题

• RQ1 每个原始递归关系是否都能由有界（∆0）公式定义？
• RQ2 在理论中函数的强表示是否意味着其可证明总定义？
• RQ3 在一个足够强的理论中，弱表示的函数是否也一定是强表示的？
• RQ4 理论需要满足什么条件，才能使弱表示蕴含强表示？
• RQ5 在形式算术中，基本、原始递归与可表示函数之间有何关系？

主要发现

• 存在一个原始递归关系不是基本的（即，不是 ∆0-可定义的），从而否定了普遍认为所有 pr 关系都是 ∆0 的信念
• 原始递归关系类严格包含基本（∆0）关系类，这是通过有界公式层次结构的对角化论证所证明的
• 在理论中函数的强表示蕴含其可证明总定义，确认了此前归因于 Huber-Dyson 的结果，但现以一种新的、直接的证明方式呈现
• 若理论满足五个公理条件 (a)–(e)，包括有界量词行为与证明编码的封闭性，则函数的弱表示蕴含其强表示
• 弱表示与强表示等价性的证明是构造性的，不依赖于递归论结果，提供了比传统方法更直接的路径
• 罗宾逊算术 Q 满足所有五个条件 (a)–(e)，使其成为表示性结果的合适基底理论，并证实了该框架的稳健性