[论文解读] On the NP-Completeness of Some Graph Cluster Measures

Jiřı́ Šı́ma, Schaeffer, Satu Elisa|ArXiv.org|Jun 29, 2005

Advanced Clustering Algorithms Research被引用 17

一句话总结

本文证明了四种关键图聚类质量度量的决策问题的NP-完全性：导出度（conductance）、局部密度（local density）、相对密度（relative density）以及单聚类编辑（single cluster editing）。通过从已知的NP-完全问题（如Max Cut–3和Min Bisection–3）进行多项式时间归约，作者正式确立了对这些广泛使用的图聚类适应度函数进行优化在计算上是不可行的，从而解决了文献中长期存在的假设。

ABSTRACT

Graph clustering is the problem of identifying sparsely connected dense subgraphs (clusters) in a given graph. Proposed clustering algorithms usually optimize various fitness functions that measure the quality of a cluster within the graph. Examples of such cluster measures include the conductance, the local and relative densities, and single cluster editing. We prove that the decision problems associated with the optimization tasks of finding the clusters that are optimal with respect to these fitness measures are NP-complete.

研究动机与目标

• 正式确立主要图聚类适应度度量的决策问题的NP-完全性，这些结论在以往文献中虽被假设但未得到严格证明。
• 解决图聚类优化任务中缺乏显式复杂度证明的问题，特别是针对导出度和基于密度的度量。
• 提供从已知NP-完全问题（例如Max Cut–3和Min Bisection–3）到导出度、局部密度、相对密度以及单聚类编辑的决策版本的严格归约。
• 阐明在数据挖掘、VLSI设计和网络分析中常用聚类质量函数优化的计算难度。

提出的方法

• 将NP-完全的Max Cut–3问题归约到最小导出度决策问题，通过构造一个三次图补图的两个不相交副本。
• 构建一个变换后的图，其导出度在且仅在原图具有大割时被阈值所限制，从而证明导出度优化的NP-难性。
• 通过基于割大小a的有理数阈值r，将NP-完全的Min Bisection–3问题归约到相对密度决策问题。
• 利用三次图的性质（每个顶点度数为3），推导出子图中边数的精确表达式，从而实现从割大小到密度阈值的精确归约。
• 通过定义依赖于割大小a和图大小n的阈值m，将Min Bisection–3归约到1–Cluster Editing决策问题。
• 通过对聚类编辑代价公式ε_G(S) = C(|S|,2) - |E(S)| + c_G(S)进行代数操作，表明编辑代价≤m与割大小≤a之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无向图中寻找最小导出度聚类的决策问题是否为NP-完全？
• RQ2 在k个顶点子集中寻找具有最大局部密度的子集的决策问题是否为NP-完全？
• RQ3 在k个顶点子集中寻找具有最大相对密度的子集的决策问题是否为NP-完全？
• RQ4 在k个顶点子集中寻找可通过最多m次边操作转化为团的子集的决策问题是否为NP-完全？
• RQ5 能否通过从已知NP-完全问题出发的多项式时间归约，正式证明这些聚类质量度量的NP-完全性？

主要发现

• 最小导出度决策问题为NP-完全，通过从Max Cut–3问题的多项式时间归约得到证明。
• 局部密度决策问题为NP-完全，因为当r = 1时，它推广了NP-完全的团问题。
• 相对密度决策问题为NP-完全，通过从Min Bisection–3问题的归约得到证明，其中阈值r = (3n - 2a)/(3n + 2a)。
• 1–Cluster Editing决策问题为NP-完全，通过从Min Bisection–3问题的归约得到证明，其中m = (12a + n(n - 8))/8。
• 所有四种聚类质量度量——导出度、局部密度、相对密度和单聚类编辑——的决策问题均为NP-完全，确认了其计算上的不可解性。
• 结果正式验证了聚类文献中长期存在的假设，即优化这些适应度函数具有计算难度。