[论文解读] On the number of commutation classes of the longest element in the symmetric group

Hugh Denoncourt, Dana C. Ernst+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2016

Coding theory and cryptography被引用 4

一句话总结

本文研究了对称群 $S_n$ 中最长元素的换位类数量，这是Knuth于1992年首次提出的长期悬而未决的问题。通过与堆、排序网络、菱形密铺及伪线排列的联系，作者证明了换位类数量 $c_n$ 对应于多种组合对象，并首次给出了 $c_n$ 的前15个已知值，目前对大 $n$ 的最佳上界为 $c_n \leq 2^{0.6571n^2}$。关键贡献在于将 $c_n$ 与若干丰富的组合结构相联系，从而深化了对考克斯eter群中约化字等价性的理解。

ABSTRACT

Using the standard Coxeter presentation for the symmetric group $S_n$, two reduced expressions for the same group element are said to be commutation equivalent if we can obtain one expression from the other by applying a finite sequence of commutations. The resulting equivalence classes of reduced expressions are called commutation classes. How many commutation classes are there for the longest element in $S_n$?

研究动机与目标

• 确定对称群 $S_n$ 中最长元素的换位类数量，该问题最初由Knuth于1992年提出。
• 建立最长元素换位类与其他组合对象（如堆、排序网络和菱形密铺）之间的联系。
• 提供 $S_n$ 的换位类数量 $c_n$ 的前15个已知值，并改进 $c_n$ 的上界。
• 通过展示 $c_n$ 与离散数学中多个著名结构的等价性，阐明 $c_n$ 的组合意义。

提出的方法

• 作者使用 $S_n$ 的标准考克斯eter表示法来定义约化表达式，并依据换位与辫子移动定义等价关系，遵循Matsumoto定理。
• 他们将换位类定义为在单次换位下等价的约化表达式的等价类，并通过 $A_{n-1}$ 型考克斯eter系统研究其结构。
• 本文利用已知的换位类与组合对象之间的双射关系：堆、原生排序网络、正 $2n$-边形的单位菱形密铺、秩为3的定向拟阵，以及伪线排列。
• 作者利用这些双射关系及现有的计数技术，计算出 $n \leq 15$ 时的 $c_n$，并应用Felsner与Valtr的结果推导出上界 $c_n \leq 2^{0.6571n^2}$。
• 他们使用堆的格点表示法，以及排序网络和菱形密铺的可视化方法，来说明对应关系，并验证了小规模情形（如 $c_4 = 8$）的正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $S_n$ 中，最长元素的换位类有多少个？该数量的增长率如何？
• RQ2 哪些组合结构与 $S_n$ 中最长元素的换位类构成双射？
• RQ3 是否可以计算更大的 $n$ 时的换位类数量 $c_n$？可以建立怎样的上界？
• RQ4 对于 $n \leq 15$ 的已知 $c_n$ 值，如何揭示 $c_n$ 的渐近行为？

主要发现

• 在 $S_n$ 中，最长元素的换位类数量 $c_n$ 等于 $w_0$ 的堆的数量，该结论由文献[13, 定理2.2]中的双射关系确立。
• 当 $n=4$ 时，恰好存在8个换位类，通过枚举16个约化表达式并按换位等价性分组得以确认。
• 目前已有前15个 $c_n$ 的值：$1, 1, 2, 8, 62, 908, 24698, 1232944, 112018190, 18410581880$，其中 $c_{15}$ 是迄今计算出的最大值。
• 目前对 $c_n$ 的最佳上界为 $c_n \leq 2^{0.6571n^2}$（当 $n$ 足够大时），该结果源自Felsner与Valtr关于伪线排列的研究成果。
• 最长元素的换位类与 $n$ 个元素的原生排序网络构成双射，同时也与正 $2n$-边形用单位菱形进行密铺的菱形密铺构成双射。
• 该问题在其他有限考克斯eter群中仍为开放问题，目前对 $S_n$ 以外的群，$c_n$ 的性质知之甚少。