[论文解读] On the Number of Distinct Legendre, Jacobi and Hessian Curves

Reza Rezaeian Farashahi|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文为有限域 𝔽_q 上的 Legendre、Jacobi、Hessian 及广义 Hessian 曲线家族，提供了在 𝔽_q-同构意义下不同椭圆曲线数量的显式公式。通过 j-不变量分类与群作用分析，推导出依赖于 q 模 12 或 3 的闭式表达式，解决了这些密码学中重要曲线家族的同构类计数这一开放问题。

ABSTRACT

We give explicit formulas for the number of distinct elliptic curves over a finite field, up to isomorphism, in the families of Legendre, Jacobi, Hessian and generalized Hessian curves.

研究动机与目标

• 解决在有限域 𝔽_q 上，Legendre、Jacobi、Hessian 及广义 Hessian 曲线家族中，按 𝔽_q-同构分类的互不同椭圆曲线数量的开放问题。
• 将此前对 Edwards 型曲线 j-不变量计数的研究成果，扩展至这些经典曲线家族。
• 提供依赖于域大小 q 及其模 3 或 12 的余数的精确、闭式公式，用于同构类计数。
• 建立一种基于群作用与 j-不变量分类的同构类计数框架，可推广至其他曲线家族。

提出的方法

• 根据 j-不变量对曲线进行分类，并利用群作用技术分析每个 j-不变量对应的 𝔽_q-同构类数量。
• 利用如下事实：某类曲线家族的 𝔽_q-同构类数量等于该家族中不同 j-不变量的数量，再根据自同构群的大小进行调整。
• 利用关于广义 Hessian 家族中 j-不变量数量的已知结果，这些结果源自乘法群 𝔽_q^* 的结构及三次剩余的性质。
• 基于 q mod 3 和 q mod 12 进行分类讨论，推导分段公式，利用椭圆曲线自同构群的结构。
• 利用如下事实：当 q ≡ 1 mod 3 时，广义 Hessian 曲线的同构类数量为 J_GH(q) + 2，其中 J_GH(q) 为不同 j-不变量的数量。
• 利用恒等式：对任意 𝔽_q 上的椭圆曲线 E，E 及其二次扭转的阶之和为 2q + 2，以分析扭转行为与同构类计数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有限域 𝔽_q 上，Legendre 曲线的 𝔽_q-同构类有多少个？
• RQ2 Hessian 曲线在 𝔽_q 上的 𝔽_q-同构类的确切数量是多少？其与 q mod 3 的关系如何？
• RQ3 广义 Hessian 曲线在 𝔽_q 上的 𝔽_q-同构类数量是多少？其随 q mod 12 如何变化？
• RQ4 同构类计数与各曲线家族中不同 j-不变量数量之间有何关系？
• RQ5 能否为这些经典曲线家族推导出与 Edwards 曲线已知公式类似的显式闭式公式？

主要发现

• 对于 𝔽_q 上的 Legendre 曲线，若 q ≡ 3 mod 4，则 𝔽_q-同构类数量为 (q + 1)/2；若 q ≡ 1 mod 4，则为 (q + 3)/2。
• 对于 𝔽_q 上的 Hessian 曲线，若 q ≡ 1 mod 3，则 𝔽_q-同构类数量为 ⌊(q + 11)/12⌋；若 q ≡ 0 或 2 mod 3，则为 q − 1。
• 对于 𝔽_q 上的广义 Hessian 曲线，若 q ≡ 1 mod 3，则 𝔽_q-同构类数量为 ⌊(3(q + 3))/4⌋；若 q ≡ 0 或 2 mod 3，则为 q − 1。
• 在 𝔽_q 上的广义 Hessian 家族中，不同 j-不变量的数量为：若 q ≡ 1 mod 12，则为 (3q + 1)/4；若 q ≡ 4 mod 12，则为 3q/4；若 q ≡ 7 mod 12，则为 (3q − 1)/4。
• 广义 Hessian 曲线的 𝔽_q-同构类数量等于该家族中不同 j-不变量数量加 2，原因在于 j-不变量 0 和 1728 对应的自同构群更大。
• 公式通过基于 q 模 12 的分类讨论及 𝔽_q^* 的结构推导得出，特别是三次剩余的数量以及自同构群对曲线参数的作用。