[论文解读] On the number of inscribed squares of a simple closed curve in the plane

Strashimir G. Popvassilev|ArXiv.org|Oct 27, 2008

Point processes and geometric inequalities参考文献 2被引用 6

一句话总结

本文证明了对于任意正整数 $ n $，平面上存在一个无限次可微、凸的简单闭曲线，其内接正方形恰好有 $ n $ 个。该构造方法通过用光滑、曲率受控的曲线替换单位圆的弧段，精确控制内接正方形的数量，从而解决了关于简单闭曲线上此类正方形数量的长期悬而未决的问题。

ABSTRACT

We show that for every positive integer n there is a simple closed curve in the plane (which can be taken infinitely differentiable and convex) which has exactly n inscribed squares.

研究动机与目标

• 解决一个开放问题：即每个简单闭曲线是否必须有无穷多个或仅有有限个内接正方形。
• 对于任意给定的正整数 $ n $，构造一个光滑、凸的简单闭曲线，使其恰好有 $ n $ 个内接正方形。
• 挑战并推翻一个猜想：即在可微曲线上，内接正方形的数量必须为奇数。
• 研究拓扑不变量 $ St $、$ J^+ $ 和 $ J^- $ 在预测内接正方形数量中的作用。

提出的方法

• 将单位圆的特定弧段替换为圆方程的光滑、指数衰减的扰动，以生成可微且凸的曲线。
• 使用函数 $ r(\theta) = 1 + c \exp\left( -\left( \frac{0.02}{(\theta - U)^2} + \frac{0.02}{(V - \theta)^2} \right) \right) $ 平滑连接单位圆上的两点，确保 $ C^\infty $ 光滑性与正曲率。
• 通过在原有弧段端点之间插入新点，每次引入一个新正方形，保持顺序并避免产生多余正方形，从而控制内接正方形的数量。
• 应用一般性假设，确保修改后的曲线仅有有限个内接正方形，从而支持对任意 $ n $ 的归纳构造。
• 证明具有水平边的内接正方形受几何约束限制，通过曲率与对称性论证排除非水平正方形。
• 利用拓扑与几何推理——如直径比较和垂直平分线分析——排除除显式构造外的额外内接正方形。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为任意正整数 $ n $ 构造出恰好有 $ n $ 个内接正方形的简单闭曲线？
• RQ2 是否可能构造一个光滑、凸的简单闭曲线，使其仅有有限个内接正方形，包括恰好两个或更多指定数量？
• RQ3 拓扑不变量 $ St $、$ J^+ $ 和 $ J^- $ 是否能完全决定浸入曲线上内接正方形的数量或奇偶性？
• RQ4 内接正方形的数量能否独立于曲线的整体拓扑或可微性类进行控制？
• RQ5 在曲线修改过程中，应满足何种条件才能确保新内接正方形出现，而不引入额外正方形？

主要发现

• 对于每个正整数 $ n $，平面上均存在一个无限次可微、凸的简单闭曲线，其内接正方形恰好为 $ n $ 个。
• 该构造方法通过用光滑、$ C^\infty $-可微的曲线替换单位圆的弧段，保持凸性，并通过插入点控制内接正方形的数量。
• 每在弧段端点之间插入一个点，可使内接正方形数量增加一个，且每个新正方形的顶点保持与原曲线相同的循环顺序。
• 本文提供了强有力的证据反对“可微曲线上内接正方形数量必须为奇数”的猜想，通过构造任意 $ n $（包括偶数）的反例。
• 作者表明，在构造示例中，具有水平边的内接正方形最多只有两个，而非水平正方形则通过几何与曲率分析被排除。
• 该方法支持一个猜想：对于任意浸入曲线 $ T $，存在一条曲线 $ T_n $，其 $ St $、$ J^+ $、$ J^- $ 不变量与 $ T $ 相同，且对所有足够大的 $ n $ 恰好有 $ n $ 个内接正方形，仅有有限多个正方形违反顶点顺序。