[论文解读] On The Number of Optimal Linear Index Codes For Unicast Index Coding Problems

R. Kavitha, Niranjana Ambadi+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2015

Cooperative Communication and Network Coding参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于矩阵的新型转移函数方法，用于表征广播索引编码问题中最优线性索引码的特性，实现了对最优码最小数量的高效计算，并识别出具有最小最大误码概率的码。通过将问题简化为更小矩阵的等价网络编码，该方法建立了最优码数量的紧下界，并提出了一个准则，用于选择能将各接收端的最坏情况译码误码率最小化的码。

ABSTRACT

An index coding problem arises when there is a single source with a number of messages and multiple receivers each wanting a subset of messages and knowing a different set of messages a priori. The noiseless Index Coding Problem is to identify the minimum number of transmissions (optimal length) to be made by the source through noiseless channels so that all receivers can decode their wanted messages using the transmitted symbols and their respective prior information. Recently, it is shown that different optimal length codes perform differently in a noisy channel. Towards identifying the best optimal length index code one needs to know the number of optimal length index codes. In this paper we present results on the number of optimal length index codes making use of the representation of an index coding problem by an equivalent network code. Our formulation results in matrices of smaller sizes compared to the approach of Kotter and Medard. Our formulation leads to a lower bound on the minimum number of optimal length codes possible for all unicast index coding problems which is met with equality for several special cases of the unicast index coding problem. A method to identify the optimal length codes which lead to minimum-maximum probability of error is also presented.

研究动机与目标

• 确定单播索引编码问题中最优线性索引码的数量，这对于在噪声环境中选择性能最佳的码至关重要。
• 开发一种比Kotter和Medard方法更高效的矩阵公式化方法，减小矩阵规模，提升计算可行性。
• 识别出能最小化任一接收端使用最大传输次数的最优线性索引码，从而最小化最坏情况下的误码概率。
• 将现有关于最优索引编码长度的结果扩展至包含误码性能分析和码选择准则。

提出的方法

• 通过输入混合、转移和输出混合矩阵，将单播索引编码问题表示为等价的网络编码问题。
• 将转移矩阵划分为对应于用户侧信息和编码传输的子矩阵，以分析译码复杂度。
• 采用较Kotter和Medard公式化方法中更小的分量矩阵的转移矩阵方法，以简化分析。
• 定义集合 $ S(c) $，其中包含长度为 $ c $ 的最优码的传输矩阵 $ T $，每个 $ T $ 对应一个有效的线性索引码。
• 推导出一个准则，用于选择 $ T \in S(c) $，使得 $ B_{BC} $ 矩阵中任意行的非零条目数最大值最小化，这对应于最小化任一接收端使用的最大传输次数。
• 通过提取 $ F_{BC} $ 矩阵的每第 $ n $ 行来构造索引码，该矩阵表示广播的编码符号。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任意单播索引编码问题，可能存在的最优线性索引码的最小数量是多少？
• RQ2 如何识别出能最小化任一接收端使用最大传输次数的最优线性索引码，从而降低最坏情况下的误码概率？
• RQ3 我们能否推导出一个关于最优码数量的紧下界，且该下界对特定类别的单播索引编码问题成立？
• RQ4 转移矩阵及其子矩阵的结构如何与最优索引码的数量和性能相关联？

主要发现

• 推导出最优线性索引码数量的下界，该下界对单源优先单播、单源优先单播和单播单源优先问题均是紧的。
• 最优线性索引码的数量由集合 $ S(c) $ 的大小决定，该集合对应于长度为 $ c $ 的有效传输矩阵 $ T $。
• 在 $ m = n = 3 $ 的单播问题中，找到了三个最优码，每个码中每个接收端最多使用 2 次传输，且所有码在最坏情况下的误比特率（BEP）性能完全相同。
• 在 $ m = n = 4 $ 的情况下，$ t_{\text{max}}(T) = 2 $ 的码比 $ t_{\text{max}}(T) = 3 $ 的码表现出更优的最坏情况误码率（BER）性能，验证了所提选择准则的有效性。
• 所提方法相比Kotter和Medard的方法降低了矩阵复杂度，从而实现了对最优索引码更高效的分析。
• 通过取 $ F_{BC} $ 矩阵每第 $ n $ 行所形成的矩阵，可得到对应的索引码，且 $ B_{BC} $ 矩阵中每行的非零条目数决定了每个接收端使用的传输次数。