[论文解读] On the number of ordinary circles

Hossein Nassajian Mojarrad, Frank de Zeeuw|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2014

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文通过圆反演和Green-Tao定理在普通直线上，建立了任意平面上 $n$ 个点（不全共线或共圆）的普通圆的紧下界 $rac{1}{4}n^2 - O(n)$。该下界对偶数 $n$ 是最优的，而构造表明对奇数 $n$，$rac{3}{8}n^2 - O(n)$ 是目前已知的最佳上界，因此奇数 $n$ 的精确系数仍为开放问题。

ABSTRACT

We prove that any $n$ points in $\mathbb{R}^2$, not all on a line or circle, determine at least $\frac{1}{4}n^2-O(n)$ ordinary circles (circles containing exactly three of the $n$ points). The main term of this bound is best possible for even $n$. Our proof relies on a recent result of Green and Tao on ordinary lines.

研究动机与目标

• 确定 $ \mathbb{R}^2$ 中不共线也不共圆的 $n$ 个点集至少确定多少个普通圆（即恰好通过三个点的圆）。
• 将Sylvester-Gallai定理的逻辑推广到圆的情形，类比于直线情形下的Dirac-Motzkin猜想。
• 改进Elliott（$rac{2}{63}n^2$）、Bálintová与Bálint（$rac{11}{247}n^2$）以及Zhang（$rac{1}{18}n^2$）的先前下界。
• 通过显式构造证明对偶数 $n$，$rac{1}{4}n^2$ 主项是最优的。
• 识别当前对奇数 $n$ 的系数理解中的差距，其中目前已知的最佳上界为 $rac{3}{8}n^2$。

提出的方法

• 将Green-Tao关于普通直线的定理作为基础工具，推导普通圆的界。
• 应用圆反演变换点集并分析构型，保持或转换普通圆与直线。
• 基于反演后点集的像类型（根据定理3.4分类为类型(d)、(e)或(f)）进行情况分析。
• 对不共曲线的点应用反演，通过反演构型中普通直线的数量推导普通圆的界。
• 利用基于同心圆的构造（构造1.2）及其扰动（构造1.3）分别证明偶数和奇数 $n$ 情形下边界的紧性。
• 利用射影等价性及代数曲线（最高八次）的次数界，排除某些构型，强制存在大量普通圆。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $ \mathbb{R}^2$ 中，不全共线或共圆的 $n$ 个点至少确定多少个普通圆？
• RQ2 对偶数 $n$，$n^2$ 项中的系数 $rac{1}{4}$ 是否最优？对奇数 $n$ 是否可进一步改进？
• RQ3 能否将Green-Tao关于普通直线的定理适配，通过圆反演推导出普通圆的紧界？
• RQ4 哪些构型达到普通圆的极值数量？它们在反演下如何表现？
• RQ5 为何界中的线性项依赖于Green-Tao定理中的阈值 $N_{GT}$？能否通过更优的界改进该项？

主要发现

• 本文证明了任意 $ \mathbb{R}^2$ 中不全共线或共圆的 $n$ 个点，至少确定 $rac{1}{4}n^2 - O(n)$ 个普通圆。
• 对偶数 $n$，$rac{1}{4}n^2$ 项是最优的，通过使用每条边有 $n/2$ 个点的两个同心正多边形的构造得以证明。
• 对奇数 $n$，主项的最佳已知上界为 $rac{3}{8}n^2$，通过从偶数情形构造中移除一个点实现。
• 对偶数 $n$，$rac{1}{4}n^2 - O(n)$ 的界是紧的，且构造表明不存在渐近更少此类圆的构型。
• 证明依赖于圆反演和基于反演点集结构的分类分析，结合了Green-Tao定理中极值构型的分类。
• 本文解决了文献[3]中问题7.2.6，并否定了Elliott提出的 $rac{1}{6}n^2 - O(n)$ 的界。