[论文解读] On the number of quadratic twists with a rational point of almost minimal height

Joachim Petit|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2020

Analytic Number Theory Research参考文献 28被引用 1

一句话总结

本文建立了关于固定椭圆曲线上二次扭量中具有几乎最小典范高度的有理点之数量的渐近公式，其类比于Hooley在实二次域中单位群基本单位的猜想。通过改编解析数论中的技巧，并利用Kummer曲面上2阶挠点与直线构型的几何性质，作者证明了此类扭量的数量呈log X的幂次增长，与Hooley在数域中的结果一致。

ABSTRACT

We investigate the number of curves having a rational point of almost minimal height in the family of quadratic twists of a given elliptic curve. This problem takes its origin in the work of Hooley, who asked this question in the setting of real quadratic fields. In particular, he showed an asymptotic estimate for the number of such fields with almost minimal fundamental unit. Our main result establishes the analogue asymptotic formula in the setting of quadratic twists of a fixed elliptic curve.

研究动机与目标

• 本文旨在为椭圆曲线的情形建立Hooley关于实二次域中基本单位猜想的类比。
• 研究固定椭圆曲线的二次扭量中具有接近最小典范高度的有理点的频率。
• 研究旨在量化Mordell–Weil群（模挠子群）的生成元的高度接近理论最小值的频率。
• 目标是推导出此类扭量数量的渐近公式，类比于Hooley对具有小基本单位的实二次域数量的渐近结果。
• 本研究将椭圆曲线的算术性质与Kummer曲面及直线构型的几何性质联系起来，以实现其结果。

提出的方法

• 作者定义了一个计数函数Nα(A, B; X)，用于计数满足d ≤ X的无平方因子整数d，使得二次扭量Ed上的最小非挠典范高度不超过d1/8+α。
• 该方法涉及分析与椭圆曲线E的2阶挠点相关的Kummer曲面的几何性质。
• 利用保持2阶挠点的P1自同构群Isom(P1; x(E[2]))对Kummer曲面上的直线进行分类。
• Kummer曲面上的有理直线由有理2阶挠点以及伽罗瓦群对2阶挠结构的作用决定。
• 证明依赖于对2阶挠点自同构群的详细分析，以及相关直线为有理直线的条件。
• 关键步骤是证明仅特定的2阶挠点与自同构的构型会产生有理直线，从而对具有此类小高度有理点的扭量数量给出上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 固定定义在Q上的椭圆曲线的二次扭量中，具有接近最小典范高度的有理点的数量的渐近公式是什么？
• RQ2 此类点的分布与Hooley研究的实二次域中小基本单位的分布相比如何？
• RQ3 何种几何与算术条件决定了关联Kummer曲面上的直线是否为有理直线？
• RQ4 在高度界背景下，能否将数域中单位群与椭圆曲线中Mordell–Weil群之间的类比进行量化？
• RQ5 2阶挠点及其伽罗瓦作用在控制此类扭量数量方面起什么作用？

主要发现

• 本文建立了关于具有典范高度≤ d1/8+α的有理点的二次扭量Ed数量的渐近公式，类比于Hooley在实二次域中的结果。
• 计数函数Nα(A, B; X)渐近增长为X1/2(log X)2，与Hooley猜想中的预测增长速率一致。
• 主要贡献是在椭圆曲线在Q上具有完整的2阶挠点的前提下，证明了该渐近公式。
• 该证明依赖于对与曲线2阶挠结构相关的Kummer曲面上有理直线的精确计数。
• 证明表明，仅特定的2阶挠点与自同构构型会产生有理直线，这些直线对应于具有小高度有理点的扭量。
• 最终得到的上界Qα(X) ≪ǫ X13/32+13α/4+ǫ 在α < 1/120时满足定理1的条件，从而完成证明。