[论文解读] On the Number of Restricted Prime Factors of an Integer II

Alexander P. Mangerel|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2016

Analytic Number Theory Research参考文献 4被引用 3

一句话总结

该论文在满足 $ k_j acksim E_j(x) $ 的条件下，为不超过 $ x $ 的整数中，从素数的划分 $ \{E_j\} $ 中恰好选取 $ k_j $ 个不同素因子的整数数量，建立了渐近公式。通过推广 Wirsing 型定理以处理乘法函数，证实当 $ k_j = (1+o(1))E_j(x) $ 时，此类整数的分布渐近服从泊松分布，从而验证了该情形下概率启发式方法的正确性。

ABSTRACT

Given a partition $\{E_0,\ldots,E_n\}$ of the set of primes and a vector $\mathbf{k} \in \mathbb{N}_0^{n+1}$, we compute an asymptotic formula for the quantity $|\{m \leq x: ω_{E_j}(m) = k_j \ \forall \ 0 \leq j \leq n\}|$ uniformly in a wide range of the parameters $k_j$ that complements the results of a previous paper of the author. This is accomplished using an extension and generalization of a theorem of Wirsing due to the author that gives explicit estimates for the ratio $\frac{|M_g(x)|}{M_{f}(x)}$, whenever $f: \mathbb{N} ightarrow (0,\infty)$ and $g: \mathbb{N} ightarrow \mathbb{C}$ are strongly multiplicative functions that are uniformly bounded on primes and satisfy $|g(n)| \leq f(n)$ for every $n \in \mathbb{N}$. This also allows us to conclude the validity of a probabilistic heuristic regarding $π(x;\mathbf{E},\mathbf{k})$ in the case that $k_j = (1+o(1))E_j(x)$, for each $0 \leq j \leq n$.

研究动机与目标

• 推导不超过 $ x $ 的整数中，从素数划分 $ \{E_j\} $ 的每个集合 $ E_j $ 中恰好选取 $ k_j $ 个不同素因子的整数数量的渐近公式。
• 研究先前工作中提出的概率启发式方法的有效性，该方法推测当 $ k_j \backsim E_j(x) $ 时，此类整数的分布应为泊松分布。
• 通过素数集合的划分结构，将 Halász 在单一集合上的结果推广至多个集合。
• 通过解析数论方法，建立在所有 $ j $ 上 Poisson 近似一致成立的条件。

提出的方法

• 将 Wirsing 的定理推广，以估计强乘法函数 $ f, g $ 满足 $ |g(n)| \leq f(n) $ 时的比值 $ |M_g(x)| / M_f(x) $。
• 将该估计应用于与划分素数集合 $ \{E_j\} $ 的乘法结构相关的算术函数，使用函数 $ f(n) = \prod_{j=0}^n (1 + \mathbf{1}_{p \in E_j}(n)) $。
• 利用函数 $ \Delta_E(x;g,T) $ 控制 $ g(p) $ 的振荡，通过定义“良好对”以排除病态相关性。
• 采用 $ \rho $-方法，其中 $ \rho_j = k_j / E_j(x) $，并通过 Gamma 函数与 Barnes $ G $-函数推导渐近展开式。
• 对素数幂的和进行二元分解，划分为 $ p^\nu \leq y $ 与 $ y < p^\nu \leq x^{1/2} $ 两部分，以控制误差项。
• 通过 $ \Sigma_1 $ 与 $ \Sigma_2 $ 的估计建立一致的误差界，证明 $ \Sigma_1 + \Sigma_2 = (1 + O(\log E_j(x)/E_j(x)))E_j(x) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ k_j \backsim E_j(x) $ 时，泊松启发式是否准确描述了从每个 $ E_j $ 中选取 $ k_j $ 个不同素因子的整数的分布？
• RQ2 在何种 $ k_j $ 与划分 $ \{E_j\} $ 的条件下，$ \pi(x;\boldsymbol{E},\boldsymbol{k}) $ 的渐近公式能一致成立？
• RQ3 本文所用方法，基于广义 Wirsing 型估计，是否可独立于先前工作 [4] 应用于推导新的渐近结果？
• RQ4 渐近公式中的误差项如何依赖于参数 $ k_j $、$ E_j(x) $ 以及各 $ E_j $ 中素数的分布？
• RQ5 因子 $ \rho = k_j / E_j(x) $ 是否如单集合情形中所见，为渐近公式中正确的偏差？

主要发现

• 当 $ E_j(x)^{-1+\epsilon} \ll \delta_j \leq \rho_j \leq B $ 且 $ \delta \cdot \delta_j E_j(x) \to \infty $（其中 $ \delta = \min_j \delta_j $）时，$ \pi(x;\boldsymbol{E},\boldsymbol{k}) $ 的渐近公式一致成立。
• 当对所有 $ j $ 有 $ k_j = (1+o(1))E_j(x) $ 时，分布渐近服从泊松分布：$ \pi(x;\boldsymbol{E},\boldsymbol{k}) \sim x \prod_{j=0}^n \frac{E_j(x)^{k_j}}{k_j!} e^{-E_j(x)} $，从而验证了概率启发式。
• 渐近公式中的误差项有界于 $ O\left(x^{-1/2} \Gamma(\rho) F(\rho)^{-1}\right) $，其中 $ \Gamma(\rho) $ 与 $ F(\rho) $ 涉及 Gamma 函数与 Barnes $ G $-函数。
• 比值 $ \pi(x;\boldsymbol{E},\boldsymbol{k}+\mathbf{e}_j)/\pi(x;\boldsymbol{E},\boldsymbol{k}) $ 的渐近行为为 $ \frac{E_j(x)}{k_j+1} $，误差为 $ O\left(\frac{1}{E_j(x)} + \frac{\log E_j(x)}{E_j(x)}\right) $，支持泊松模型。
• 该方法独立于先前工作 [4]，其核心依赖于对具有受控增长与振荡的乘法函数的广义 Wirsing 型估计。
• 结果在 $ \boldsymbol{E} $ 为“良好划分”的条件下成立，即 $ \Delta_{E_j}(x;g,T)/E_j(x) \gg_n 1 $，这排除了 $ g(p) $ 与素数集合 $ E_j $ 之间的病态相关性。