[论文解读] On the number of Singular Vector Tuples of Hyper-Cubical Tensors

Shalosh B. Ekhad, Doron Zeilberger|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2016

Tensor decomposition and applications参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文推导出通用超立方张量的简单奇异向量组数的有理生成函数，证明对角线序列 $ C_d(n) = c(n,\dots,n) $ 是holonomic（P-递归）的，并推测渐近公式 $ C_d(n) \sim \alpha_d \cdot ((d-1)^d)^n \cdot n^{-(d-1)/2} $。该研究结合生成函数理论、MacMahon主定理与符号计算，为 $ d=3,4,5,6 $ 建立了递推关系与渐近分析，提供100美元奖金以证明该公式，另设25美元奖金以获得常数 $ \alpha_d $ 的闭式表达。相关结果已实现于在线的Maple程序包中。

ABSTRACT

Shmuel Friedland and Giorgio Ottaviani's beautiful constant term expression for the number of singular vector tuples of generic tensors is used to derive a rational generating function for these numbers, that in turn, is used to obtain an asymptotic formula for the number of such tuples for n by n by n three-dimensional tensors, and to conjecture an asymptotic formula for the general d-dimensional case. A donation of 100 dollars, in honor of the first prover, will be made to the On-line Encyclopedia of Integer Sequences.

研究动机与目标

• 确定通用 $ d $ 维超立方张量中简单奇异向量组的数量。
• 为序列 $ c(m_1,\dots,m_d) $（即此类组数）推导一个有理生成函数。
• 对每个 $ d $，证明对角线序列 $ C_d(n) = c(n,\dots,n) $ 是holonomic（P-递归）的。
• 推测 $ C_d(n) $ 的渐近公式，并为该公式的证明及常数 $ \alpha_d $ 的显式表达提供奖金。

提出的方法

• 通过生成函数理论与MacMahon主定理，结合一个非对角线元素全为1的 $ d \times d $ 矩阵，作者推导出 $ c(m_1,\dots,m_d) $ 的有理生成函数。
• 该生成函数表示为 $ \prod_{i=1}^d x_i (\prod_{i=1}^d (1 - x_i))^{-1} (1 - \sum_{i=2}^d (i-1)e_i(x_1,\dots,x_d))^{-1} $，其中 $ e_i $ 为初等对称函数。
• 通过对生成函数的有理性，利用算法证明理论确立了 $ C_d(n) $ 的holonomy性质。
• 对于 $ d=3 $，推导出一个五阶线性递推关系（含多项式系数），并通过符号计算验证。
• 利用WZ方法计算渐近展开，得到 $ C_3(n) \sim \frac{2}{\sqrt{3}\pi} 8^n n^{-1} (1 - \frac{13}{3}n^{-1} + \cdots) $。
• 数值证据强烈支持猜想 $ C_d(n) \sim \alpha_d \cdot ((d-1)^d)^n \cdot n^{-(d-1)/2} $ 对 $ d \geq 4 $ 成立，尽管 $ \alpha_d $ 的闭式尚未证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于大小为 $ n \times \cdots \times n $ 的通用 $ d $ 维超立方张量，其简单奇异向量组的确切数量是多少？
• RQ2 序列 $ c(m_1,\dots,m_d) $ 的生成函数能否以闭式表达，且是否为有理函数？
• RQ3 对角线序列 $ C_d(n) = c(n,\dots,n) $ 是否满足具有多项式系数的线性递推关系？
• RQ4 序列 $ C_d(n) $ 的渐近增长速率如何？能否用 $ d $ 表达？
• RQ5 渐近公式中的常数 $ \alpha_d $ 能否显式地用 $ d $ 和 $ \pi $ 表达？

主要发现

• 通过将奇异向量组计数转化为常数项问题，并应用MacMahon主定理，证明了 $ c(m_1,\dots,m_d) $ 的生成函数是有理函数。
• 对于 $ d=3 $，序列 $ C_3(n) $ 满足一个五阶线性递推关系（含多项式系数），并通过符号计算验证。
• 序列 $ C_3(n) $ 的渐近展开为 $ \sim \frac{2}{\sqrt{3}\pi} 8^n n^{-1} (1 - \frac{13}{3}n^{-1} + \frac{1477}{27}n^{-2} - \cdots) $，其中主导基底8相较于9为次主导。
• 数值证据强烈支持猜想 $ C_d(n) \sim \alpha_d \cdot ((d-1)^d)^n \cdot n^{-(d-1)/2} $ 对 $ d \geq 4 $ 成立，尽管常数 $ \alpha_d $ 尚未证明。
• 已计算出 $ C_4(n) $ 的前160项，但由于数据不足，未能找到递推关系，表明其复杂度较高。
• Doron Zeilberger 提供100美元奖金以证明渐近猜想，另设25美元奖金以获得 $ \alpha_d $ 的显式公式。