[论文解读] On the Number of Solutions to Asymptotic Plateau Problem

Barış Coşkunuzer|arXiv (Cornell University)|May 26, 2005

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文证明，在双曲空间中，对于在无穷远处给定的边界，渐近Plateau问题通常具有唯一的绝对面积最小化超曲面。通过使用测地线横截和解区域厚度分析的拓扑叶状结构论证，作者证明了产生唯一解的边界集合在高维中是稠密的，在三维中是典型的，显著推广了此前针对凸或星形边界的结果。

ABSTRACT

We give a simple topological argument to show that the number of solutions of the asymptotic Plateau problem in hyperbolic space is generically unique. In particular, we show that the space of codimension-1 closed submanifolds of sphere at infinity, which bounds a unique absolutely area minimizing hypersurface in hyperbolic n-space, is dense in the space of all codimension-1 closed submanifolds at infinity. In dimension 3, we also prove that the set of uniqueness curves in asymptotic sphere for area minimizing planes is generic in the set of Jordan curves at infinity. We also give some nonuniqueness results for dimension 3, too.

研究动机与目标

• 确定双曲空间中在无穷远处边界唯一绝对面积最小化超曲面的边界在球面无穷远处的典型性与稠密性。
• 将先前仅限于凸或星形边界的唯一性结果推广至更一般的情形。
• 研究在三维中非唯一解是否可能发生，并构造渐近Plateau问题的非唯一解的显式例子。
• 探讨该方法在更广泛的几何设定（包括Gromov-Hadamard空间和常平均曲率情形）中的适用性。

提出的方法

• 将 $S^2_\infty(\mathbf{H}^3)$ 中给定边界曲线的邻域叶状化为一维参数族曲线 $\{\Gamma_t\}$，每条曲线可能界定多个最小面积平面。
• 使用Meeks-Yau交换圆化技巧，确保具有不相交边界的最小面积平面在 $\mathbf{H}^3$ 中本身也不相交。
• 在 $\mathbf{H}^3$ 中构造一条横截测地线 $\beta$，使其与所有此类平面相交，并对每个 $\Gamma_t$ 测量两平面之间线段的长度 $s_t$。
• 将两平面之间区域的“厚度” $s_t$ 定义为非唯一性的度量；正厚度表示存在多个解。
• 应用Baire范畴理论，证明满足 $s_t = 0$（即唯一解）的曲线 $\Gamma_t$ 的集合在若尔当曲线空间中是典型的。
• 通过证明在 $S^{n-1}_\infty(\mathbf{H}^n)$ 中，界定唯一绝对面积最小化超曲面的余维数1子流形集合是稠密的，将论证推广至更高维。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $S^{n-1}_\infty(\mathbf{H}^n)$ 中，界定唯一绝对面积最小化超曲面的边界集合在所有此类边界的集合中是否稠密？
• RQ2 在三维中，$S^2_\infty(\mathbf{H}^3)$ 中界定唯一最小面积平面的若尔当曲线集合是否是典型的（即余第一纲）？
• RQ3 能否在三维中显式构造渐近Plateau问题的非唯一解？
• RQ4 用于最小面积平面的方法是否可推广至更高维中的绝对面积最小化超曲面？
• RQ5 在 $n > 3$ 时，$S^{n-1}_\infty(\mathbf{H}^n)$ 中是否存在界定多个绝对面积最小化超曲面的闭余维数1子流形？

主要发现

• 在 $S^{n-1}_\infty(\mathbf{H}^n)$ 中，界定唯一绝对面积最小化超曲面的闭余维数1子流形集合在所有此类子流形的集合中是稠密的。
• 在三维中，$S^2_\infty(\mathbf{H}^3)$ 中界定唯一最小面积平面的若尔当曲线集合是典型的，即其补集为第一纲集。
• 作者构造了 $S^2_\infty(\mathbf{H}^3)$ 中简单闭曲线的显式例子，这些曲线界定了多个绝对面积最小化曲面，从而在三维中展示了非唯一性。
• 该方法依赖于一条横截测地线与一族最小面积平面相交，两平面之间长度 $s_t$ 作为非唯一性的度量。
• 该结果将Anderson和Hardt-Lin关于凸和星形边界的先前唯一性定理推广至更一般且稠密的边界集合。
• 该技术具有鲁棒性，且可能可推广至Gromov-Hadamard空间、平均凸区域以及常平均曲率情形。