[论文解读] On the numerical radius of a quaternionic normal operator

G. Ramesh|arXiv (Cornell University)|May 24, 2016

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 4被引用 5

一句话总结

本文证明了在四元数希尔伯特空间上，右线性有界正规算子的范数与数值半径相等，将经典复算子理论中的一个结果推广到了四元数情形。利用这一等价关系，作者为紧致正规四元数算子的谱定理提供了新的证明，并证明了每个紧致四元数算子都是范数达到的，从而证明了四元数版本的林登施特劳斯定理：范数达到算子在有界算子空间中是稠密的。

ABSTRACT

We prove that for a right linear bounded normal operator on a quaternionic Hilbert space (quaternionic bounded normal operator) the norm and the numerical radius are equal. As a consequence of this result we give a new proof of the known fact that a non zero quaternionic compact normal operator has a non zero right eigenvalue. Using this we give a new proof of the spectral theorem for quaternionic compact normal operators.. Finally, we show that every quaternionic compact operator is norm attaining and prove the Lindenstrauss theorem on norm attaining operators, namely, the set of all norm attaining quaternionic operators is norm dense in the space of all bounded quaternionic operators defined between two quaternionic Hilbert spaces.

研究动机与目标

• 建立四元数希尔伯特空间上右线性有界正规算子的范数与数值半径相等。
• 利用该结果证明每个非零紧致正规四元数算子都具有非零右特征值。
• 利用范数-数值半径相等性，为紧致正规四元数算子的谱定理提供新证明。
• 证明每个紧致四元数算子都是范数达到的。
• 将林登施特劳斯关于范数达到算子在有界算子空间中稠密的定理推广到四元数情形。

提出的方法

• 通过切片复结构将给定的四元数正规算子关联到一个复正规算子，保持范数与数值半径不变。
• 利用复希尔伯特空间中的经典结果（正规算子的范数等于其数值半径）推导出四元数正规算子的相应结论。
• 应用范数-数值半径相等性，证明紧致正规四元数算子存在非零右特征值。
• 利用非零右特征值的存在性及谱分解技术，推导出紧致正规四元数算子谱定理的新证明。
• 通过证明其绝对值算子达到其范数，从而证明每个紧致四元数算子都是范数达到的，利用范数-数值半径相等性。
• 利用极分解和秩一正算子的扰动论证，证明范数达到算子集合在有界四元数算子空间中是稠密的。

实验结果

研究问题

• RQ1 四元数希尔伯特空间上右线性有界正规算子的范数是否等于其数值半径？
• RQ2 能否利用范数-数值半径相等性证明紧致正规四元数算子存在非零右特征值？
• RQ3 能否利用范数-数值半径结果重新证明紧致正规四元数算子的谱定理？
• RQ4 每个紧致四元数算子是否都是范数达到的？
• RQ5 范数达到四元数算子的集合是否在所有有界四元数算子空间中是稠密的？

主要发现

• 四元数希尔伯特空间上右线性有界正规算子的范数与数值半径相等。
• 作为范数-数值半径相等性的推论，每个非零紧致正规四元数算子都具有非零右特征值。
• 利用范数-数值半径相等性与非零右特征值的存在性，为紧致正规四元数算子的谱定理建立了新证明。
• 每个紧致四元数算子都是范数达到的，即它在单位球面上达到其算子范数。
• 所有范数达到四元数算子的集合在两个四元数希尔伯特空间之间的所有有界四元数算子空间中是范数稠密的，从而证明了四元数版本的林登施特劳斯定理。
• 该证明依赖于通过构造秩一正算子的扰动来证明稠密性，利用极分解与紧致算子的范数达到性质。