[论文解读] On the numerical solution of a variable-coefficient Burgers equation arising in granular segregation

Ivan C. Christov|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2017

Granular flow and fluidized beds参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文提出了一种二阶精度、强隐式的Crank-Nicolson数值格式，用于求解描述干态双组分混合物中颗粒分异的变系数Burgers方程。该方法能够处理颗粒通量的非线性边界条件，并通过精确的kink型解进行验证，展示了二阶收敛性及良好的守恒性质，适用于基于模拟所得动力学应力分布的常系数与变系数情形。

ABSTRACT

We study a variable-coefficient Burgers equation arising in the modelling of segregation of dry bidisperse granular mixtures. The equation is subject to nonlinear boundary conditions for the particle flux. We construct a strongly implicit Crank--Nicolson type of numerical scheme for the latter equation. The scheme is benchmarked against a standard exact solution of kink type, showing second-order of accuracy and good discrete conservation properties. Two segregation problems considered in the literature are then solved and discussed. The first is the case of a linear kinetic stress profile, which renders the governing equation of constant-coefficient type, while the second is the case of a variable kinetic stress profile based on an expression fit to particle dynamics simulation data.

研究动机与目标

• 开发一种用于双组分混合物颗粒分异中出现的变系数Burgers方程的鲁棒数值格式。
• 解决控制方程中颗粒通量的非线性边界条件问题。
• 确保数值解具有二阶精度与离散守恒性质。
• 通过精确的kink型解对格式进行基准测试以验证其有效性。
• 将该格式应用于两种物理情形：基于粒子动力学模拟的线性与变系数动力学应力分布。

提出的方法

• 为变系数Burgers方程构建了一种强隐式的Crank-Nicolson型有限差分格式。
• 该格式被设计用于处理颗粒通量的非线性边界条件。
• 通过精确的kink型解析解对方法进行验证，确认其具有二阶收敛性。
• 该格式保持了离散守恒性质，这对物理一致性至关重要。
• 模拟了两种物理情景：一种为线性动力学应力分布（常系数情形），另一种为基于粒子动力学模拟数据拟合的变系数分布。
• 将数值结果与现有文献进行比较，以评估其精度与物理相关性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何设计一种数值格式，以准确求解颗粒分异中具有非线性通量边界条件的变系数Burgers方程？
• RQ2 所提出的数值格式的收敛阶与守恒行为如何？
• RQ3 当应用于具有线性动力学应力分布的常系数情形时，该模型表现如何？
• RQ4 当基于粒子动力学模拟数据得到的变系数动力学应力分布时，该模型行为如何？
• RQ5 通过数值求解完整的变系数Burgers方程，能够获得关于分异动力学的哪些新见解？

主要发现

• 所提出的Crank-Nicolson格式在空间与时间方向上均实现了二阶精度，经与精确kink型解的收敛性测试得到验证。
• 该格式表现出良好的离散守恒性质，能够保持对建模颗粒通量至关重要的物理不变量。
• 在动力学应力线性分布的情形下，解的行为与已知的常系数Burgers方程一致。
• 基于粒子动力学模拟数据拟合的变系数情形揭示了常系数模型无法捕捉的显著分异动力学特征。
• 数值结果与先前文献一致，验证了模型的物理相关性以及格式的可靠性。