[论文解读] On the optimal control problem for a class of monotone bilinear systems

Neil K. Dhingra, Marcello Colombino+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2016

Diabetes and associated disorders参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文为单调双线性系统提出了一个无限时域最优控制问题，证明了最优控制输入随时间保持恒定，并可通过有限维非光滑凸优化计算得出。主要贡献包括一种用于计算最优控制器的次梯度算法，以及在模型不确定性下的鲁棒控制扩展，其应用涵盖HIV联合药物治疗设计。

ABSTRACT

We consider a class of monotone systems in which the control signal multiplies the state. Among other applications, such bilinear systems can be used to model the evolutionary dynamics of HIV in the presence of combination drug therapy. For this class of systems, we formulate an infinite horizon optimal control problem, prove that the optimal control signal is constant over time, and show that it can be computed by solving a finite-dimensional non-smooth convex optimization problem. We provide an explicit expression for the subdifferential set of the objective function and use a subgradient algorithm to design the optimal controller. We further extend our results to characterize the optimal robust controller for systems with uncertain dynamics and show that computing the robust controller is no harder than computing the nominal controller. We illustrate our results with an example motivated by combination drug therapy.

研究动机与目标

• 针对生物与物理过程中出现的具有非负状态的单调双线性系统（如HIV病毒动力学）进行最优控制研究。
• 采用诱导幂范数作为性能指标，构建无限时域最优控制问题，推广H∞性能指标。
• 证明在该性能准则下，最优控制输入随时间恒定，从而简化此类系统的控制器设计。
• 开发一种次梯度算法，用于求解所得的非光滑凸优化问题。
• 将框架扩展至模型不确定性下的鲁棒控制，表明鲁棒控制器设计的复杂度不高于标称设计。

提出的方法

• 针对一类控制输入与状态相乘的单调双线性系统，建立最优控制问题，其动态由Metzler矩阵描述，控制输入通过对角矩阵影响系统。
• 将目标函数定义为系统传递函数的诱导幂范数，从而在标量控制增益上形成非光滑凸优化问题。
• 推导出目标函数的次微分显式表达式，以支持基于次梯度的优化方法。
• 应用次梯度算法，计算使目标函数最小化的最优恒定控制输入。
• 通过在系统矩阵中引入结构化扰动，将框架扩展至处理模型不确定性，采用鲁棒优化方法。
• 证明鲁棒控制器设计可归结为与标称情况类似的凸问题，保持计算可处理性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无限时域性能准则下，能否证明单调双线性系统的最优控制输入随时间恒定？
• RQ2 尽管存在非光滑性，此类系统的最优控制问题是否仍可转化为有限维凸优化问题？
• RQ3 能否在不增加计算复杂度的前提下，为具有不确定动态的系统设计鲁棒控制？
• RQ4 通过凸优化获得的最优控制输入与启发式或时变方法相比，在HIV治疗等生物应用中的表现如何？
• RQ5 结构性不确定性（如病毒网络中存在不确定的突变路径）对控制器性能与稳定性有何影响？

主要发现

• 所研究的单调双线性系统类的最优控制输入在时间上恒定，简化了实现与分析。
• 最优控制器可通过求解有限维非光滑凸优化问题获得，且显式次微分表达式支持次梯度方法的应用。
• 在n=10突变体、r=1、ρ=3的HIV启发示例中，标称最优控制输入为u_nom = 1.5936，而鲁棒控制器为u_rob = 1.9413。
• 当不确定突变路径c ≥ 0.0054时，标称控制器变得不稳定，而鲁棒控制器在c ≥ 0.5461范围内仍保持稳定。
• 鲁棒控制器针对突变路径中的不确定性（如从x_n到x_1的循环连接）进行设计，不确定性边界为α_1n = 0.1。
• 脉冲响应分析表明，鲁棒控制器在面对模型扰动时显著优于标称控制器，尤其在存在不确定性时。