[论文解读] On the optimal controllability time for linear hyperbolic systems with time-dependent coefficients

Jean‐Michel Coron, Hoài-Minh Nguyên|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2021

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 42被引用 5

一句话总结

本文研究了一维空间中具有时变零阶系数的线性双曲系统最优可控性时间。结果表明，即使系数是光滑时变的，其最小可控时间也可能显著长于时不变情况下的时间；但若系数在时间上是解析的，则最优时间恢复为经典时不变值，凸显了光滑与解析设定之间的显著差异。

ABSTRACT

The optimal time for the controllability of linear hyperbolic systems in one dimensional space with one-side controls has been obtained recently for time-independent coefficients in our previous works. In this paper, we consider linear hyperbolic systems with time-varying zero-order terms. We show the possibility that the optimal time for the null-controllability becomes significantly larger than the one of the time-invariant setting even when the zero-order term is indefinitely differentiable. When the analyticity with respect to time is imposed for the zero-order term, we also establish that the optimal time is the same as in the time-independent setting.

研究动机与目标

• 确定时变零阶系数对一维双曲系统最优可控性时间的影响。
• 研究光滑（C∞）时变系数是否会导致最优可控性时间长于时不变情况。
• 建立在时间依赖下最优时间保持不变的条件，特别是当系数在时间上为解析时。
• 阐明解析性在时变动力系统下保持可控性性质的作用。
• 将已知的时不变系统可控性结果推广至时变设定，并精确刻画最小控制时间。

提出的方法

• 通过黎曼坐标将双曲系统解耦为前向和后向传播波。
• 应用特征线法和能量估计研究解的传播及时间依赖零阶项的影响。
• 在L²空间中建立广义解的适定性，具有时间与空间的连续性，确保解的正则性。
• 在解析设定下，利用唯一延拓原理刻画可在最短时间内被驱动至零的状态。
• 关键技术工具是构造对偶问题并利用Carleman估计证明在时间T_opt下的可控性。
• 通过分析时间依赖扰动下解的行为，区分光滑与解析系数的差异。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管不改变特征速度，光滑时变零阶系数是否仍可使最优可控性时间超过时不变情况？
• RQ2 具有光滑时变系数的双曲系统实现零可控性的最小时间是多少？
• RQ3 零阶系数在时间上为解析时，是否能恢复时不变情况下观察到的经典最优可控性时间？
• RQ4 系统结构，特别是前向与后向波之间的耦合，如何影响可控性时间？
• RQ5 线性双曲系统的可控性特性在多大程度上依赖于时变系数的正则性（光滑与解析）？

主要发现

• 即使零阶系数在时间上为C∞，具有光滑时变零阶系数的双曲系统的最优可控性时间仍可能严格长于时不变情况下的最优时间。
• 这种最优时间的增加与零阶项不影响系统特征速度的事实并行存在。
• 当零阶系数在时间上为解析时，最优可控性时间恢复为经典值T_opt = τ_k + τ_{k+1}，与时不变情况一致。
• 该结果凸显了在双曲可控性背景下光滑与解析时变系数之间的根本差异。
• 分析证实，解析性是保持最小可控性时间的充分条件，扩展了线性控制系统中已知的性质。
• 本文证明在解析设定下，可在时间T_opt实现零可控性，且在与时不变情况相同的条件下，精确可控性成立。