[论文解读] On the optimal feedforward torque control problem of anisotropic synchronous machines: Quadrics, quartics and analytical solutions

Hisham Eldeeb, Christoph M. Hackl+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2016

Electric Motor Design and Analysis参考文献 27被引用 11

一句话总结

本论文通过将转矩、电压和电流约束重新表述为二次型，提出了一种各向异性同步电机最优前馈转矩控制问题的解析解法，实现了通过四次多项式求根精确计算最优直轴与交轴电流参考值。该方法消除了对数值近似或简化假设的依赖，为所有电机类型（包括IPMSM和RSM）的MTPC、MTPV、MTPF、MC及弱磁控制策略提供了精确解。

ABSTRACT

The optimal feedforward torque control problem is tackled and solved analytically for synchronous machines while stator resistance and cross-coupling inductance are explicitly considered. Analytical solutions for the direct and quadrature optimal reference currents are found for all major operation strategies such as Maximum Torque per Current (MTPC) (or often called as Maximum Torque per Ampere (MTPA)), Maximum Current (MC), Field Weakening (FW), Maximum Torque per Voltage (MTPV) and Maximum Torque per Flux (MTPF). Numerical methods (approximating the optimal solutions only) or simplifying assumptions (neglecting stator resistance and/or cross-coupling inductance) are no longer necessary. The presented results are based on one simple idea: all optimization problems (e.g. MTPC, MTPV or MTPF) with their respective constraints (e.g. current or voltage limit) and the computation of the intersection point(s) of voltage ellipse, current circle, or torque, MTPC, MTPV and MTPF hyperbolas are reformulated implicitly as quadrics (quadratic surfaces) which allow to solve the feedforward torque control problem by invoking the Lagrangian formalism and by finding the roots of a fourth-order polynomial analytically. The proposed solutions are applicable to any anisotropic (or isotropic) synchronous machine independent of the underlying current control strategy.

研究动机与目标

• 消除在同步电机最优前馈转矩控制中对数值近似或简化假设（例如忽略定子电阻或互感耦合电感）的依赖。
• 在所有主要运行策略（MTPC、MTPV、MTPF、MC及弱磁控制）下，为直轴与交轴电流参考值提供精确的解析解。
• 通过在d-q电流空间中隐式表示转矩、电压和电流约束为二次曲面，统一处理这些约束。
• 无论电机类型或控制策略如何，均实现对各向异性同步电机的精确、实时控制设计。

提出的方法

• 在d-q电流空间中，将电机转矩、电压限值、电流限值及磁链范数重新表述为隐式的二次曲面（二次型）。
• 应用拉格朗日形式化方法，推导每种运行策略下的最优性必要条件，将问题简化为涉及二次曲面的方程组求解。
• 通过矩阵变换与向量投影，将两个二次曲面的交线（例如，转矩双曲面与电压椭球）转化为关于参数γ的单一四次多项式。
• 利用已知的代数方法，解析求解所得四次多项式，确保所有实根均被计算，并根据物理象限约束选择正确根。
• 通过坐标系平移处理退化情况（例如，二次方程中常数项为零），在应用四次方程求解器前恢复非退化性。
• 将解映射回原始d-q坐标系，确保计算得到的电流矢量满足所有约束，并在给定策略下实现最大转矩。

实验结果

研究问题

• RQ1 各向异性同步电机的最优前馈转矩控制问题是否可以不依赖数值近似或简化假设而实现解析求解？
• RQ2 在d-q坐标系中，如何精确计算非线性约束（如转矩双曲面与电压椭球）的交点？
• RQ3 何种数学结构使得MTPC、MTPV、弱磁控制等主要运行策略能够通过二次曲面与四次方程实现统一处理？
• RQ4 如何解析求解一般四次多项式并实时映射回物理电流参考值？
• RQ5 矩阵J所诱导的类似雅可比的变换在将交线问题约化为可解四次方程中起到何种作用？

主要发现

• 论文推导出在MTPC、MTPV、MTPF、MC及弱磁控制策略下，适用于任意各向异性或各向同性同步电机的最优d轴与q轴电流参考值的精确解析表达式。
• 该方法避免了现有研究中常见的数值求解器及简化假设（如忽略定子电阻或互感耦合电感）。
• 所有优化问题均被简化为求解单一四次多项式，其根通过已知代数公式解析计算。
• 任意两个二次曲面（如转矩双曲面与电压椭球）的交点通过参数化变换计算，将问题转化为关于γ的四次方程，可闭式求解。
• 通过坐标平移处理退化情况（如二次方程中常数项为零），确保数值稳定性。
• 最终电流矢量精确计算为 x⋆(γ⋆) = −2(D − γ⋆J)⁻¹d + xs，其中γ⋆为位于目标物理象限内的实根。