[论文解读] On the Optimal Rates of Convergence for Quadratures Derived from Chebyshev Points

Shuhuang Xiang|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2013

Mathematical functions and polynomials参考文献 28被引用 4

一句话总结

本文通过在切比雪夫展开中使用改进的混叠误差估计，建立了基于切比雪夫点的 n 点克莱姆肖-柯蒂斯、费耶尔第一类和第二类以及高斯-勒让德求积公式的最优收敛速率。推导出在 $ \min(\alpha,\beta) \geq -\frac{1}{2} $ 时收敛阶为 $ O(n^{-s-1}) $，在 $ -1 < \min(\alpha,\beta) < -\frac{1}{2} $ 时收敛阶为 $ O(n^{-s-2-2\min(\alpha,\beta)}) $，对对数权重情况引入对数项，表明这些速率对 $ X^s $ 中的函数是可实现的。

ABSTRACT

In this paper, we study the optimal general convergence rates for quadratures derived from Chebyshev points. By building on the aliasing errors on integration of Chebyshev polynomials, together with the asymptotic formulae on the coefficients of Chebyshev expansions, new and optimal convergence rates for $n$-point Clenshaw-Curtis, Fejér's first and second quadrature rules are established for Jacobi weights or Jacobi weights multiplied by $\ln((x+1)/2)$. The convergence orders are attainable for some functions of finite regularities. In addition, by using refined estimates on aliasing errors on integration of Chebyshev polynomials by Gauss-Legendre quadrature, an improved convergence rate for Gauss-Legendre is given too.

研究动机与目标

• 解决在一般雅可比权重和对数权重下，基于切比雪夫点构造的求积公式缺乏最优收敛速率估计的问题。
• 为克莱姆肖-柯蒂斯、费耶尔第一类和第二类规则以及高斯-勒让德求积公式建立在 $ X^s $ 中有限正则性函数下的最优收敛速率。
• 通过分析高斯求积下切比雪夫多项式积分中的混叠误差，改进现有误差界。
• 提供对特定光滑度有限的函数类可实现的收敛阶。
• 通过推导高斯与克莱姆肖-柯蒂斯规则在奇异权重下的收敛行为差异的精确渐近速率，解决该问题。

提出的方法

• 利用 $ X^s $ 中函数的切比雪夫展开，其系数衰减为 $ O(j^{-s-1}) $，以表示求积误差。
• 将求积误差表示为高阶切比雪夫系数与 $ T_j(x) $ 上求积误差的乘积之和，借助已知的误差表示形式。
• 应用对使用高斯-勒让德求积积分 $ T_j(x) $ 的混叠误差的改进估计，提升对 $ E_n^G[T_j] $ 的先前界。
• 推导在雅可比权重和对数权重下切比雪夫展开系数的渐近公式，以分析衰减速率。
• 使用佩亚诺核定理和有界变差假设推导一般误差界，再通过 $ X^s $-正则性进行精化。
• 通过分析 $ \min(\alpha,\beta) $ 和对数奇点的依赖关系，比较不同类型求积公式的收敛速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 当函数属于 $ X^s $ 且具有雅可比权重 $ w(x) = (1-x)^\alpha(1+x)^\beta $ 时，n 点克莱姆肖-柯蒂斯、费耶尔第一类和第二类以及高斯-勒让德求积公式的最优一般收敛速率是什么？
• RQ2 收敛速率如何依赖于参数 $ \alpha $ 和 $ \beta $，特别是当 $ \min(\alpha,\beta) < -\frac{1}{2} $ 时？
• RQ3 对数权重因子 $ \ln((x+1)/2) $ 对这些求积公式的收敛速率有何影响？
• RQ4 对于导数有有界变差的函数，高斯-勒让德求积的收敛速率能否优于标准的 $ O(n^{-k-1}) $ 界？
• RQ5 为克莱姆肖-柯蒂斯和费耶尔规则推导出的收敛速率是否最优且对 $ X^s $ 中的函数可实现？

主要发现

• 基于改进的混叠误差估计，对于 $ 0 < s < 1 $，n 点高斯-勒让德求积的收敛速率提升至 $ O(n^{-2s}) $；对于 $ s = 1 $，为 $ O(n^{-2} \ln n) $；对于 $ s > 1 $，为 $ O(n^{-s-1}) $，在 $ f \in X^s $ 条件下成立。
• 对于 $ w(x) = (1-x)^\alpha(1+x)^\beta $，当 $ \min(\alpha,\beta) \geq -\frac{1}{2} $ 时，克莱姆肖-柯蒂斯和费耶尔规则的收敛速率是 $ O(n^{-s-1}) $；当 $ -1 < \min(\alpha,\beta) < -\frac{1}{2} $ 时，为 $ O(n^{-s-2-2\min(\alpha,\beta)}) $。
• 当 $ w(x) = \ln((x+1)/2)(1-x)^\alpha(1+x)^\beta $ 时，若 $ \beta > -\frac{1}{2} $，收敛速率是 $ O(n^{-s-1}) $；若 $ -1 < \beta \leq -\frac{1}{2} $，则为 $ O(n^{-s-2-2\beta} \ln n) $。
• 推导出的收敛阶对 $ X^s $ 中的函数是可实现的，包括 $ f(x) = |x - 0.5|^s $，证实了其精确性。
• 数值结果表明，对于 $ f \in X^s $，在奇异权重下，克莱姆肖-柯蒂斯和费耶尔规则的收敛速率高于或与高斯求积相当，尤其当 $ \min(\alpha,\beta) < -\frac{1}{2} $ 时。
• 尽管理论上有所改进，但数值证据表明，对于 $ f(x) = |x - 0.5|^s $，在雅可比权重下，高斯与克莱姆肖-柯蒂斯求积的精度保持相近，提示收敛速率等价性可能存在一个开放问题。